III. Опасная точка

I. Аналитическое выражение для нормальных напряжений в точке с положительными координатами

Согласно принципу независимости действия сил:

(1)

(2)

Подставляя (2) в (1), получим:

, где (3)

, (4) – квадраты главных радиусов инерции.

Подставим (4) в (3), получим формулу для напряжений при внецентренном сжатии:

. (5)

В случае внецентренного растяжения в формуле (5) знак «+».

II. Опасное сечение

Поскольку собственный вес бруса не учитывается, все сечения являются равноопасными.

III. Опасная точка

Опасная точка – точка, наиболее удаленная от нейтральной линии.

Положим в (5) и обозначим:

– координаты нейтральной линии;

получим уравнение нейтральной линии:

. (6)

Уравнение (6) – уравнение прямой линии, не проходящей через начало координат.

Такую прямую удобнее задавать отрезками, которые она отсекает на осях координат.   , (*) . (**)   Подставляя (*) в (6), получим: .

Аналогичное выражение получим, используя (**).

Таким образом (7) – уравнение нейтральной линии в отрезках.

Нейтральная линия разделяет плоскость на область растяжения и область сжатия.

Из соотношений (7) следует:

1. Положение нейтральной линии ни зависит от величины, ни от направления силы, а определяется только координатами полюса.

2. Нейтральная линия и полюс всегда располагаются по разные стороны от центра тяжести сечения (знак «-» в формулах).

3. При приближении полюса к центру тяжести нейтральная линия удаляется от него и наоборот.

4. Если полюс лежит на одной из осей координат, нейтральная линия будет перпендикулярна этой оси.

Так если (***) - нейтральная линия лежит на оси z. Подставляя (***) в (7), получим: Следовательно, нейтральная линия параллельна оси y и перпендикулярна оси z.

Отрезки a_z, a_y обычно берут из чертежа с их знаками, поэтому при рассмотрении внецентреннного растяжения (сжатия) сечение необходимо выполнить в масштабе.

Зная положение нейтральной линии можно определить положение опасных точек и построить эпюру нормальных напряжений σ в сечении.