III. Положение опасной точки

При изучении плоского поперечного изгиба балок были введены очень важные понятия о нейтральном волокне, нейтральном слое и нейтральной линии. Напомним суть этих понятий: 1) нейтральное волокно – продольное волокно балки, которое не испытывает при изгибе продольные деформации, а только искривляется; 2) нейтральный слой – совокупность нейтральных волокон балки; 3) нейтральная линия – линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки.

Согласно закону Гука и допущениям, которые использовались при выводе формулы для нормальных напряжений σ при чистом плоском изгибе, на уровне нейтральной линии (н.л.) нормальные напряжения отсутствуют (σ = 0). Очевидно, что, если выполняется гипотеза плоских сечений Я.Бернулли, то максимальные напряжения в сечении будут возникать в точках, которые наиболее удалены от нейтральной линии. Поскольку мы считаем, что при растяжении (сжатии) и плоском изгибе брусьев гипотеза Я.Бернулли выполняется, у сложной деформации, включающей в себя указанные простые деформации, на уровне нейтральной линии будем иметь

. (9)

Равенство (9) является наиболее общим уравнением нейтральной линии.

Подставим (7) в (9) и обозначим: – координаты нейтральной линии. Получим уравнение нейтральной линии при косом изгибе

(10)

Формула (10) представляет собой уравнение прямой, которая проходит через начало координат. Удобнее эту прямую задавать углом наклона нейтральной линии к оси z (углом α), где α отсчитывается от положительного направления оси z. Из рисунка получаем . (11) Из формулы (10) следует (12)

Приравнивая левые части соотношений (11) и (12), будем иметь

,

откуда получаем уравнение нейтральной линии при косом изгибе

(13)

Нейтральная линия разделяет сечение на область растяжения и область сжатия. Из (13) следует, что в общем случае, когда ; , то есть нейтральная линия не перпендикулярна силовой плоскости. В случае если , сечение бруса имеет степень симметрии более двух и все центральные оси его являются в то же время главными, поэтому любая силовая плоскость, включающая ось бруса будет совпадать с главной центральной плоскостью. То есть для брусьев, сечение которых имеет степень симметрии более двух, косой изгиб не реализуется (реализуется ППИ). При этом нейтральная линия всегда перпендикулярна силовой плоскости.

Опасные точки – наиболее удаленные от нейтральной линии.

Условие прочности записываем для наиболее напряженной точки - опасной точки в опасном сечении.

(14)

Координаты опасных точек: y₁, z₁ – при растяжении; y₂, z₂ – при сжатии.

Для бисимметричных сечений с выступающими углами (прямоугольник, двутавр) условие прочности можно записать в другой форме:

Опасными в этом случае являются угловые точки сечения   (15)

Учитывая, что: (16) – моменты сопротивления сечения,

условие прочности для бисимметричных сечений с выступающими углами примет вид:

. (17)

Эпюры σ при косом изгибе

(на примере балки прямоугольного сечения)

1. Строят эпюры σ (M_z) и σ (M_y) на базах, перпендикулярных осям z и y соответственно.

2. Определяют положение нейтральной линии и строят суммарную эпюру σ на базе, перпендикулярной нейтральной линии.

На основе условий прочности (14), (17) решаются известные три типа задач.