Математика. I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой 105 страница

Матка у человека - детородный мышечный полый орган, расположенный в полости малого таза женщины между мочевым пузырём и прямой кишкой. Весит 40-50 г у нерожавших женщин и 90-100 г у много рожавших. М. имеет грушевидную форму. Большую часть её составляет тело, верхний отдел к-рого расширен и наз. дном; нижний, суженный конец М. (шейка) охвачен влагалищем. В шейке выделяют 2 части: обращённую в полость влагалища - влагалищную и верхнюю - надвлагалищную часть. Дно М. наклонено вперёд, а тело и шейка образуют угол, открытый кпереди. Внутри М. имеется полость в форме треугольника, с двумя отверстиями вверху, ведущими в маточные (фаллопиевы) трубы. Полость М. переходит в канал шейки, открывающийся своим наружным отверстием (маточный зев) во влагалище. Стенка М. состоит из трёх оболочек: наружной (серозной), средней (мышечной) и внутренней (слизистой). Серозная оболочка представлена брюшиной, к-рая окутывает М. спереди, сзади и с боков и переходит на мочевой пузырь и прямую кишку, ограничивая 2 углубления: пузырно-маточное и прямокишечно-маточное; по бокам М. листки брюшины срастаются и образуют широкую связку М., к-рая вместе с фасциями и мышцами тазового дна участвует в её фиксации. Средняя оболочка М. самая мощная; она состоит из трёх слоев гладких мышц с примесью эластич. волокон. Слизистая оболочка выстлана цилиндрич. мерцательным эпителием, снабжена многочисл. железами и в связи с менструальным циклом подвержена изменениям. Артериальное кровоснабжение М. осуществляется ветвями маточных и яичниковых артерий, к-рые особенно сильно развиваются при беременности. Венозная кровь оттекает от М. по одноимённым венам, а лимфа - по отводящим сосудам к аорто-абдоминальным, подчревным и подвздошным лимфатич. узлам. Иннервация М. осуществляется ветвями нижнего брыжеечного сплетения и тазовыми нервами. Я. Л. Караганов.

МАТКА ПЧЕЛИНАЯ, единственная в пчелиной семье самка с вполне развитыми половыми органами.

МАТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ (от нем. matt - тусклый), поверхность с микроскопич. неровностями, размеры к-рых близки к длинам волн видимого света (400-700 нм). При падении света на М. п. он отражается от неё д и ф ф у з н о, т. е. рассеивается во все стороны (тогда как от гладкой поверхности - правильно, или зеркально; см. Отражение света). При этом в широком интервале углов падающего света (исключая углы, соответствующие правильным отражению и преломлению, а также большие углы > 60-70°) приближённо выполняется Ламберта закон.

МАТОВЯЗАЛЬНАЯ МАШИНА, машина для вязки матов из ржаной соломы, камыша и др. высокостебельных растений. Используемая в СССР М. м. МВМ-250 изготовляет мат в виде бесконечной ленты, которую при необходимости разрезают на части нужной длины. Приводится в действие от электродвигателя мощностью 2, 8 кет. Производительность 100-250 м/ч мата в зависимости от его толщины и шага прошивки. Ширина изготовляемого мата 1250 мм, толщина 25-60 мм.

МАТОЗИНЬЮШ (Matozinhos), город в Португалии, в пров. Дору-Литорал, в округе Порту, на побережье Атлантического ок. (к С. от устья р. Дуэро). 37, 7 тыс. жит. (1970). Рыбопромысловый центр.

МАТОРИНЫ, Моторины Иван Фёдорович (ок. 1660-1735) и Михаил Иванович (г. рожд. неизв.- ум. 1750), отец и сын, русские мастера литейного дела. Первые сведения об Иване М. как об опытном мастере относятся к 1687; в 1701-04 он изготовил 113 пушек, много крупных колоколов для Москвы, Петербурга, Киева, Старой Руссы и др. городов. В 1735 М. отлили знаменитый царь-колокол для колокольни " Иван Великий" в Моск. Кремле.

Лит.: Данилевский В. В., Рус" екая техника, 2 изд., Л., 1949; Рубцов Н. Н., И. Ф. и М. И. Моторины, в сб.: Люди русской науки. Техника, М., 1965.

МАТОУЦИНЬ, моринхур, струнный смычковый музыкальный инструмент. Распространён во Внутр. Монголии (КНР) и МНР. Имеет трапециевидный корпус с кожаной верхней декой и деревянной нижней, снабжённой фигурными резонансными отверстиями. Длина М.- 1000-1100 мм.

МАТОЧКИН ШАР, пролив между Сев. и Юж. о-вами Новой Земли. Соединяет Баренцево и Карское моря. Берега высокие, местами обрывистые. Дл. ок. 100 км, шир. (в наиболее узкой части) ок. 0, 6 км. Глуб. ок. 12 м. Большую часть года покрыт льдом. На берегу - промысловые посёлки (Маточкин Шар, Столбовой).

МАТОЧНАЯ ТРАВА, маточник, маточница, народное название мн. травянистых двудольных растений, применявшихся в нар. медицине для лечения нек-рых женских болезней. Чаще М. т. наз. различные ромашки - Matricaria (от лат. matrix - матка, отсюда и назв. травы), мн. виды к-рой сохранили лекарственное значение.

МАТОЧНИКИ, особые, наиболее крупные ячейки в сотах пчелиных, предназначенные для вывода пчелиных маток. М. бывают роевые (чаще на рёбрах сота) и свищевые (на плоскости сота с молодыми личинками). После выхода матки пчёлы обычно уничтожают М.

МАТОЧНИКИ в семеноводстве, отобранные на семенные цели растения у двулетних культур. Из М. выращивают семена овощных культур (корнеплодов, лука, капусты) и сахарной свёклы. Способы выращивания маточных растений в 1-й год жизни обычные для культуры. Осенью отбирают наиболее типичные для каждого сорта здоровые растения, выкапывают их и сохраняют до весны цельными или в виде кочерыг (у капусты) в овощехранилищах. Весной М. высаживают в открытый грунт, где они образуют семенные кусты и дают семена.

МАТОЧНОЕ МОЛОЧКО, секрет верхнечелюстной и глоточной желез, выделяемый рабочими пчёлами-кормилицами в особые ячейки сота (маточники), в к-рых развиваются пчелиные матки. В один маточник пчёлы кладут 0, 2-0, 5 г М.м. Для выделения М. м. пчёлам-кормилицам, кроме мёда, необходима пыльца или перга. В М. м. (в сухом виде) 40-58% белка, 5-18% жира, ок. 26% сахара, ряд минеральных солей, а также витаминов и др. биологич. активных веществ. Состав М.м. зависит гл. обр. от пыльцы, к-рой питаются пчёлы. Из М. м. вырабатывают препарат апилак, используемый в медицине и парфюмерии.

МАТОЧНЫЕ РОЖКИ, ядовитый гриб, паразитирующий на ржи; то же, что спорынья.

МАТОЧНЫЕ СРЕДСТВА, группа лекарственных веществ, избирательно действующих на гладкую мускулатуру матки и стимулирующих её сократит, способность. Характер действия М. с. различный. Одни М. с. вызывают спазм мускулатуры, вследствие чего происходит сжатие стенок сосудов. Другие М. с. усиливают сокращения матки, не нарушая их ритмичности, и применяются для усиления родовой деятельности.

Применение в акушерско-гинекологич. практике нашли препараты спорыньи и её алкалоидов (порошок спорыньи, экстракт спорыньи густой, эрготал - смесь фосфатов алкалоидов спорыньи), эргометрин, метилэргометрин, эрготамин, к-рые используют при гипотонии и атонии матки в раннем послеродовом периоде и связанных с нею маточных кровотечениях, при кровотечениях после кесарева сечения, аборта, при меноррагиях (менструальных кровотечениях) и др.; препараты задней доли гипофиза (питуитрин и окситоцин), к-рые применяют для возбуждения и усиления сократит, деятельности матки при первичной и вторичной родовой слабости и при перекашивании беременности, при гипотонич. кровотечениях в раннем послеродовом периоде, для нормализации обратного развития матки в послеродовом и после-абортном периодах. Как М. с. применяют также нек-рые ганглиоблокирующие средства (пахикарпин, диколин, димеколин, сферофизин), вызывающие повышение тонуса и усиление сокращений матки. В связи с этим их назначают для ускорения родов, особенно у женщин с нефропатией, сопровождающейся гипертонией. В качестве М. с. применяют экстракты, настои, настойки из лекарственных растений (трава пастушьей сумки, листья барбариса обыкновенного, трава водяного перца), а также ряд препаратов из разных классов соединений - котарнина хлорид (стиптицин), бреви-коллин, винкаметрин, изоверин, ветра-зин, прегнантол и др. Как М. с. используют и средства, не оказывающие прямого действия на гладкую мускулатуру матки, в частности слабит, средства (касторовое масло), в особенности те, к-рые, раздражая рецепторы толстого кишечника, вызывают рефлекторное усиление сокращений матки. Я. А. Шаров.

МАТОЧНЫЕ ТРУБЫ, фаллопиевы трубы (по имени итал. анатома Г. Фаллопия, впервые описавшего их в сер. 16 в.), яйцеводы, парный трубчатый орган женщины, по к-рому яйцеклетка проходит из яичника в латку. М. т. сообщается с полостью матки через маточное отверстие, а противоположное её отверстие открывается в брюшную полость около яичника, для к-рого М. т. является как бы выводным протоком. Она идёт по верхнему краю широких связок, к-рые здесь являются ее брыжейкой. Длина М. т. от 6 до 20 см, чаще 10-12 см. Стенка М. т. состоит из серозной оболочки, покрывающей её со всех сторон, трёх слоев мускулатуры и слизистой оболочки. Кровоснабжение от ветвей маточной и яичниковой артерии, иннервацию обеспечивают ветви яичникового и тазового нервных сплетений.

МАТРА (Matra), вулканич. массив в юж. части Зап. Карпат, на С. Венгрии. Вые. до 1015 м (г. Кекеш, самая высокая в стране). Сложен гл. обр. андезитовыми лавами и их туфами. Глубоко расчленён речными долинами, крутые склоны, конусовидные вершины. На горных склонах - дубовые и буковые леса, у подножий - сады, виноградники. Термальные источники. Курорты (Парад, Матрафюред, Кекештетё и др.). Туризм.

МАТРАСА, посёлок гор. типа в Шемахинском р-не Азерб. ССР. Расположен в 10 км от г. Шемаха и в 64 км к С.-В. от ж.-д. ст. Кюрдамир (на линии Баку - Тбилиси). Винный и асфальтовый з-ды, произ-во железобетонных изделий, мельница.

МАТРАСА, Кара ширей, азербайджанский винный сорт винограда среднего периода созревания. Ягода ср. величины (диам. 12-17 мм), округлая или слегка овальная, тёмно-синяя, почти чёрная. Кожица довольно толстая. Мякоть сочная, со своеобразным тонким ароматом. Сок слабо окрашен. М. используется для приготовления высоко-качеств. столовых, а также десертных (типа кагора) вин. Созревает в 1-й половине сентября. Урожайность до 10 т/га. Сорт мало поражается болезнями оидиумом и милдью, засухоустойчив. Районирован в Азерб. ССР, Даг. АССР, Казах. ССР, встречается в посадках в Туркм. ССР, УССР.

МАТРЕС ЛЕКЦИОНИС [лат. matres lectionis (перевод с др.-евр.), букв.- матери чтения], в консонантном письме - согласные буквы (w, j, в нек-рых письменностях - ларингалы ' либо h), используемые для указания на наличие гласных (преим. долгих), чтобы обеспечить однозначное прочтение текста, к-рое при чисто консонантной записи часто бывало неоднозначным. М. л. встречаются уже в угаритской, моавитской и финикийской письменности, но широко применяются лишь в евр., арамейском, сирийском, араб, письме. Буква j указывает на наличие i, е (и даже a), w - на п, б_, ларингал ' и конечный h- на наличие а и др. долгих гласных. Позднее (в мандейском, авестийском и др. алфавитах) М. л. регулярно обозначают все гласные (т. е. превращаются в гласные буквы). В греч. письме гласные буквы происходят из М. л. (напр., I - из j, Y - из w, А- из ', Е- из h, О - из ', Н [ё] - из h). К М. л. восходят и гласные буквы латиницы (см. Латинский алфавит), кириллицы и мн. др. алфавитов.

Лит.: Дирингер Д., Алфавит, пер. с англ., М., 1963; J е n s е n H., Die Schrift, В., 1969. А. Б. Долгополъскгш.

МАТРИАРХАТ (от лат. mater, род. падеж matris - мать и греч. arche - начало, власть; букв.- женовластие), одна из форм обществ, устройства периода разложения родового строя и перехода к классовому обществу. Осн. признаки М.: доминирующее положение женщины в обществе, матрилинейностъ наследования имущества и должностей, матрилокальность или дислокальность брачного поселения (см. Матрилокальныи брак, Дислокальный брак) - результат трансформации нек-рых норм материнского рода. Впервые период М. был выделен И. Бахофеном на основании анализа древнеклассич. мифов. М. исторически реконструируется у нек-рых народов Тибета, в Др. Египте и др. гос-вах древности. Пережитки М. сохраняются у минангкабау (о. Суматра), нек-рых народов Микронезии и др. Иногда термин " М." неточно используется для обозначения материнско-родового строя в целом или периода его расцвета. См. также статьи Род, Первобытнообщинный строй.

МАТРИКС (лат. matrix, от mater - основа, букв.- мать) в цитологии, мелкозернистое, гомогенное вещество, заполняющее внутриклеточные структуры (органоиды) и пространства между ними. Различают цитоплазматич. М., или основное вещество (масса, проявляющая в зависимости от физиол. состояния клетки способность к вязкому течению или к упругой деформации), М. митохондрий (полужидкое вещество, заполняющее пространства между кристами, или гребнями, митохондрий), М. клеточного ядра, пластид и др. органоидов. Цитоплазматич. М. состоит гл. обр. из агрегированных в разной степени белковых молекул и служит поддерживающей средой для клеточных органоидов; в нём находятся базальные тельца, центриоли, нити, микротрубочки и др. фибриллярные структуры, функции к-рых ещё не полностью выяснены.

Лит.: Фрей-Висслинг А., Мюлеталер К., Ультраструктура растительной клетки, пер. с англ., М., 1968; Л ё в и А., С и к е в и ц Ф., Структура и функции клетки, пер. с англ., М., 1971.

МАТРИКУЛ (от лат. matricula - список), устаревшее название зачётной книжки студента.

МАТРИЛИНЕЙНОСТЬ (от лат. mater, род. падеж matris - мать), счёт происхождения и наследования по материнской линии. М.- одна из важнейших особенностей эпохи материнско-родового строя, осн. принцип организации людей в материнский род как социально-экономич. единицу первобытного общества. М.- наиболее стойкий институт этой эпохи, долго сохранявшийся даже после распада рода как экономич. общности. Со становлением патриархата М. сменяется патрилинейностью, но нередко бытует наряду с последней даже в раннеклассовых обществах в форме материнского права наследования власти верховных вождей и нек-рых видов имущества.

МАТРИЛОКАЛЬНЫЙ БРАК (от лат. mater, род. падеж matris - мать и locus- место), матрилокальное поселение, распространённая в условиях материнско-родового строя форма брачного поселения, при к-рой муж переходит на жительство в общину жены. М. 6. (первая форма совместного проживания брачной пары) ведёт к превращению родовой общины в матрилинейную (см. Матрилинейностъ) семейную общину и способствует образованию отдельной, внеродовой собственности мужчин, к-рая становится важной предпосылкой перехода от М. б. к патрилокалъному браку. Пережитки М. б.- обычаи временного поселения брачной пары с родителями жены, отработки за невесту и др.

МАТРИМОНИАЛЬНЫЙ (лат. matrimonialis, от matrimonium - брак), брачный, относящийся к браку (женитьбе, замужеству).

МАТРИЦА (нем. Matrize, от лат. matrix - матка, источник, начало) в полиграфии, 1) сменный элемент литейной формы с углублённым (иногда фотографич.) изображением буквы или знака, используемый при отливке типографских литер или шрифтовых строк. М.- металлич. брусок, на одной из граней к-рого выштамповано (путём вдавливания пуансона) или выгравировано очко буквы или знака. При заполнении жидким сплавом полости литейной формы и очка на М., прижатой к форме, образуются типографские литеры или шрифтовые строки с рельефной печатной поверхностью. В зависимости от типа машины, на к-рой производится отливка литер или строк, различают шрифтолитейные, строкоотливные и буквоотливные М.

Шрифтолитейная М.- стальной брусок прямоугольного сечения с углублённым изображением одной буквы или знака. Комплект шрифтолитейных М. позволяет отливать на шрифтолитейной машине все литеры одного шрифта, используемые для ручного набора.

В строкоотливной наборной машине (см. Линотип) из отдельных М., хранящихся в магазине, составляется матричная строка, устанавливаемая перед щелью литейной формы. После заполнения формы сплавом образуется цельнометаллич. шрифтовая строка.

В буквоотливной наборной машине (см. Монотип) комплект М. собран в матричной рамке. При отливке необходимая М. устанавливается над щелью отливной формы. В отличие от строкоотливной шрифтовая строка на буквоотливной наборной машине образуется из отдельных литер. Монотипная М. снабжена отверстием для нанизывания на стержень матричной рамки и конич. углублением для точной установки и прижима М. к литейной форме.

В фотонаборных машинах используются М., в к-рых углублённые изображения знаков заменены фотографическими.

2) Углублённый оттиск с рельефной печатной формы на пластичном материале (картоне, пластмассе и т. д.), используемый для получения стереотипных копий печатной формы (см. Матрицирование, Стереотипия). Г.С.Ершов.

МАТРИЦА в математике, система элементов а_ij (чисел, функций или иных величин, над к-рыми можно производить алгебраич. операции), расположенных в виде прямоугольной схемы. Если схема имеет т строк и п столбцов, то говорят о (т X n)-матрице. Обозначения:
[ris]

Короче: || а_ij||, (a_ij)/ Наряду с конечными М. рассматриваются М. с бесконечным числом строк или столбцов.

М., состоящая из одной строки, наз. строкой, из одного столбца - столбцом. Если т = п, то М. наз. квадратной, а число п - её порядком. Квадратная М., у к-рой отличны от нуля лишь диагональные элементы a_i = a_ii, наз. диагональной и обозначается diag (a₁,..., а_n). Если все a _i = а, получают скалярную М. При a = 1 М. наз. единичной и обозначается Е. М., все элементы к-рой равны нулю, наз. нулевой.

Переставив в М. строки со столбцами, получают транспонированную М. А', или Л^т. Если элементы М. заменяют на комплексно-сопряжённые, получают комплексно-сопряжённую М. Л. Если элементы транспонированной М. А' заменяют на комплексно-сопряжённые, то получают М. А*, наз. сопряжённой с А. Определитель квадратной М. А обозначается \А\ или detA. Минором k-то порядка М. А наз. определитель k-то порядка, составленный из элементов, находящихся на пересечении нек-рых k строк и k столбцов М. Л в их естеств. расположении. Рангом М. Л наз. максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы.

Действия над матрицами. Произведением прямоугольной (от X п)-матрицы Л на число а наз. М., элементы к-рой получены из элементов a_ij умножением на число а:
[ris]
Сумма определяется для прямоугольных М. одинакового строения, и элементы суммы равны суммам соответствующих слагаемых, т. е.
[ris]
Умножение М. определяется только для прямоугольных М. таких, что число столбцов первого множителя равно числу строк второго. Произведением (т X р)- матрицы Л на (р X n)-матрицу В будет (т X n)-матрица С с элементами
[ris]
Введённые три действия над М. обладают свойствами, близкими к свойствам действий над числами. Исключением является отсутствие коммутативного закона при умножении М.: равенство АВ = В А может не выполняться. Матрицы А к В наз. перестановочными, если АВ = В А. Кроме того, произведение двух М. может равняться нулевой М., хотя каждый сомножитель отличен от нулевой.

Справедливы правила: (АВ)' = В'А', АВ = АВ, (АВ)* = В*А*.

Определитель произведения двух квадратных М. равен произведению определителей перемножаемых М.

Часто удобно разбивать М. на клетки, являющиеся М. меньших размеров, проводя разделит, линии через всю М. слева направо или сверху вниз. При умножении такой т. и. клеточной М. на число, нужно умножить все её клетки на то же число. При надлежащем согласовании разбиений действия сложения и умножения клеточных М. осуществляются так, как будто вместо клеток стоят числа.

Квадратная М. А = (ац) наз. неособенной, или невырожденной, если её определитель не равен нулю; в противном случае М. наз. особенной (вырожденной). М. Л" ¹ наз. обратной к квадратной М. А, если AA^-1 = E; при этом а = А_ki/|А|. Неособенность т М. Л есть необходимое и достаточное условие существования обратной М., к-рая при этом оказывается единственной и перестановочной с исходной М. Верна формула:
[ris]
Болыной интерес приобретает обобщённая обратная (или псевдообратная) М. А⁺, определяемая как для любой прямоугольной М., так и для особенной квадратной. Эта М. определяется из четырёх равенств:
АА⁺А = А, А+АА⁺ = А, АА⁺ = (АА⁺)*, А+А = (А+А)*.

Квадратные матрицы. Степенью Aⁿ М. А наз. произведение п сомножителей, равных А. Выражение вида а₀А^п + + а₁А^п-1 +... + а_nЕ,. Правила действий над полиномами от данной М. А ничем не отличаются от правил действий над алгебраич. многочленами. Можно рассматривать и аналитические функции от М. В частности, если
[ris]
есть сходящийся на всей комплексной плоскости ряд (напр., f (t)=e^t).

Аналитич. функции от М. играют большую роль в теории дифференциальных уравнений. Так, система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, записанных в матричных обозначениях в виде
[ris]
(здесь X - столбец из неизвестных функций), имеет решение х - е^AtС, где С - столбец из произвольных постоянных.

Ненулевой столбец X такой, что АХ=ЛХ, наз. собственным вектором М. А. В этом равенстве коэффициент X может быть лишь одним из корней многочлена к-рый наз. характеристич. многочленом М. А. Эти корни наз. собственными значениями, или характеристич. числами, М. А. Коэффициенты характеристич. многочлена выражаются через суммы нек-рых миноров М. А. В частности, p₁ = а₁₁ + • • • + a_1n = S рA (след A), р_n = (- 1)^n-1|A|. Справедливо соотношение Кэли-Гамильтона: если ф(t) есть характеристич. многочлен М. А, то ф(A) = 0, так что М.Л является " корнем" своего характеристич. многочлена.
[ris]

М. Л наз. подобной М. В, если существует такая неособенная М. С, что В=С^-1AC. Легко проверяется, что подобные М. имеют одинаковые характеристич. многочлены.

Исчисление матриц. М.-полезный аппарат для исследования многих задач тео-ретич. и прикладной математики. Одной из важнейших задач является задача нахождения решения систем линейных алгебраич. уравнений. В матричных обозначениях такие системы записываются в виде AX = F, где Л есть М. коэффициентов, X-искомое решение, записанное в виде столбца из п элементов, F - столбец свободных членов из т элементов. Если А- квадратная неособенная М., то система имеет единственное решение X = A^-1 F. Если А прямоугольная (га X п)-матрица ранга k, то решение может не существовать или быть не единственным. В случае несуществования решения имеет смысл обобщённое решение, дающее минимум сумме квадратов невязок (см. Наименьших квадратов метод). При отсутствии единственности точного или обобщённого решения часто выбирают нормальное решение, т. е. решение с наименьшей суммой квадратов компонент. Нормальное обобщённое решение находится по формуле X= A⁺F. Наиболее важен случай переопределённой системы: k=п< т. В этом случае обобщённое решение единственно. При k = m< n (недоопределённая система) точных решений бесконечно много и формула даёт нормальное решение.

Не менее важной для многочисленных приложений (в теории дифференциальных уравнений, в теории малых колебаний, в квантовой механике и т. д.) является задача решения полной или частичной проблемы собственных значений. Здесь ищутся все или часть собственных значений М. и принадлежащие им собственные или корневые (нек-рые обобщения собственных) векторы. К этой задаче близко примыкает и обобщённая проблема собственных значений, в к-рой ищутся числа и векторы такие, что AХ=ЛВХ (А и В- заданные М.), и многие родственные проблемы.

С полной проблемой непосредственно связана также задача о приведении преобразованиями подобия квадратной М. к канонич. форме. Такой формой будет diag (Л₁,..., Л_n), если М. имеет п различных собственных значений Л₁,..., Л _п, или форма Жордана [см. Нормальная (жорданова) форма матрицы] в общем случае.

Ввиду большой практич. важности поставленных задач для их численного решения имеется большое число различных методов. Наряду с нахождением численного решения важно оценивать качество найденного решения и исследовать устойчивость решаемой задачи.

Матрицы специального типа. Существует большое число различных типов М. в зависимости от выполнения различных соотношений между элементами.
[ris]

Нек-рые типы естественно возникают в приложениях. Приведённая таблица даёт ряд важных типов квадратных М.

Следует отметить также ленточные М.-такие М., ненулевые элементы к-рых могут располагаться на главной диагонали и на диагоналях, соседних с главной, напр, двухдиагональные и трёх диагональные М.

Не менее важны специальные типы М., употребляемых в качестве вспомогательных. Это элементарные М.- М., отличающиеся от единичной одним элементом; М. вращения и отражения.

Имеются унитарные аналоги М. вращения иотражения; правые (левые)треугольные М.-М., у к-рых равны нулю элементы под (над) главной диагональю; правые (левые) почти треугольные М. (М. типа Хессенберга) - М., у к-рых равны нулю элементы под (над) диагональю, соседней снизу (сверху) с главной.

Преобразование матриц. Численные методы решения систем линейных уравнений основываются обычно на преобразовании систем посредством цепочки левых умножений на подходящие вспомогательные М. с тем, чтобы перейти к легко решаемой системе. В качестве вспомогательных для вещественных М. употребляются элементарные М., М. вращения или М. отражения. Система с неособенной М. приводится либо к системе с треугольной М., либо с ортогональной. В теоретич. аспекте это равносильно представлению М. коэффициентов в виде произведения двух треугольных М. (при выполнении нек-рых дополнит, условий) или в виде произведения треугольной на ортогональную (в том или другом порядке).

Для переопределённой системы умножением слева на цепочку М. вращения или отражения можно прийти к системе с треугольной М, порядка и, решение к-рой даёт обобщённое решение исходной системы.

Для решения проблемы собственных значений, раньше чем применять наиболее эффективные итерационные методы, целесообразно подобно преобразовать М. общего вида к М. типа Хессенберга или к трёхдиагональной в случае симметрии. Этого можно добиться за счёт цепочки подобных преобразований элементарными М., М. вращения или М. отражения.

Историческая справка. Понятие М. было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в сер. 19 в. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я пол. 19 в. и нач., 20 в.). И. А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитич. функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитич. коэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в совр. математике и её приложениях. Исчисление М. развивается в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основных задач.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 9 изд., т. 3, ч. 1, М., 1967; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры. Зизд., М., 1970; Гантмахер Ф.Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967; Уилкинсон Дж. X., Алгебраическая проблема собственных значений, пер с англ М., 197-0: ф _а д д е е в Д. К., Ф а д д е е в а В. Н-, Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М.-Л., 1963; Воеводин В. В., Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы, М., 1966; Лаппо-Данилевский И. А., Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1957; Ф р е з е р Р. А., Д у н к а н В., Коллар А., Теория матриц и её приложения к дифференциальным уравнениям и динамике, пер. с англ., М., 1950; В а зо в В., Форсайт Д ж., Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, пер с англ., М., 1963. В. Н. Фаддеева.

МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ, S - м а т р и ц а, совокупность величин (матрица), описывающая процесс перехода кванто-вомеханич. систем из одних состояний в другие при их взаимодействии (рассеянии). Понятие " М. р." введено В. Гейзенбергом в 1943.

Если обозначить набор квантовых чисел, характеризующих начальное состояние, через г, а конечное - через f, то амплитуда рассеяния (квадрат модуля к-рой определяет вероятность данного рассеяния) может быть записана как Sft. Совокупность амплитуд рассеяния образует таблицу с двумя входами (i -номер строки, f - номер столбца), к - рая и наз. М. p. S. Каждая амплитуда является элементом этой матрицы (матричным элементом). Наборы квантовых чисел г, f могут содержать как непрерывные величины (энергию, угол рассеяния и др.), так и дискретные (орбитальное квантовое число, спин, изотопический спин, массу и т. д.). В простейшем случае системы двух бесспиновых частиц в нерелятивистской квантовой механике состояние определяется относит, импульсом частиц р; тогда ^амплитуда рассеяния представляет собой функцию двух переменных-энергии Е и угла рассеяния S_fi = F(E, Q).