IX. Международно-правовой режим 29 страница

Лит.: Трубецкой Н. С., Основы фонологии, М., 1960, гл. 1, 3-5; М а р т и н е А., Основы общей лингвистики, в кн.: Новое в лингвистике, в. 3, М., 1963; Б у л ы г и н а Т. В., Пражская лингвистическая школа, в сб.: Основные направления структурализма, М., 1964; её же, Грамматические оппозиции, в кн.: Исследования по общей теории грамматики, М., 1968; Апресян Ю. Д., Идеи и методы современной структурной лингвистики, М., 1966; Общее языкознание. Внутренняя структура языка, М., 1972, с. 172 - 189; К а н т и н о Ж., Сигнификативные оппозиции, в сб.: Принципы типологического анализа языков различного строя, М., 1972. Т. В. Булыгина.

ОППОЗИЦИЯ в астрономии, то же, что противостояние; см. Конфигурации в астрономии.

ОППОЛЬЦЕР (Oppolzer) Теодор (26.10. 1841, Прага, - 26.12.1886, Вена), австрийский астроном. Проф. Венского ун-та (с 1875). Осн. труды посвящены определению орбит комет и планет. Вычислил элементы 8000 солнечных и 5200 лунных затмений начиная с 1207 до н. э. и до 2163 н. э. (т. н. Канон затмений О.). С 1873 О. возглавлял работы в Австрии, связанные с градусными измерениями, проводившимися в Европе. Организовал и участвовал в работах по определению (при помощи передачи сигналов по телеграфу) долгот более 40 пунктов. В 1884 выполнил абсолютное определение ускорения силы тяжести, послужившее основанием т. н. венской системы относительных определений ускорений силы тяжести.

Соч.: Lehrbuch zur Bahnbestimmung der Kometen und Planeten, Bd 1-2, Lpz., 1880- 1882; Canon der Finsternisse, W., 1887.

ОППОРТУНИЗМ (франц. opportunisme, от лат. opportunus - удобный, выгодный) в рабочем движении, теория и практика, противоречащие действительным интересам рабочего класса, толкающие рабочее движение на путь, выгодный буржуазии. О. прямо или косвенно, путём соглашательства и открытой капитуляции или посредством неоправданных и провокац. действий приспосабливает и подчиняет рабочее движение интересам его классовых противников.

О. появляется вместе с развитием революц. движения рабочего класса во 2-й пол. 19 в. Первоначально его идейной основой были различные формы домарксового социализма, а его тактика заимствовалась у либеральных реформистов, а также у различных анархистских групп. В период деятельности 1-го и 2-го Интернационалов К. Маркс и Ф. Энгельс подвергли критике оппортунистич. концепции и тактич. установки, с одной стороны, Ф. Лассаля, Э. Бернштейна, К. Шрамма за их прямую капитуляцию перед буржуазией, а с другой - М. А. Бакунина, О. Бланки, толкавшие рабочее движение на путь авантюризма. После победы марксизма в рабочем движении О. меняет идеологич. облачение и уже, как правило, выступает, прикрываясь марксистскими фразами. По своей классовой природе О. внутри революц. рабочего движения есть проявление мелкобурж. идеологии и политики; в теоретич. плане он обнаруживает себя то как ревизионизм, то как догматизм; в организац. отношении он оказывается то ликвидаторством (см. Ликвидаторы), то сектантством, по направлению своих воздействий на революц. движение он выступает то как правый, то как " левый" О.; при этом один вид О. может перерастать в другой.

Правый О.- это меняющаяся совокупность реформистских теорий и соглашательских тактич. установок, направленных на непосредств. подчинение рабочего движения интересам буржуазии и отказывающихся от коренных интересов рабочего класса во имя временных частичных выгод. В основе конкретных разновидностей правого О. лежит фаталистич. концепция, к-рая подменяет трезвый учёт объективных условий преклонением перед стихийным экономич. развитием, принимает мелкие реформы за постепенное осуществление социализма, уповает на автоматич. " трансформацию капитализма в социализм". Защита " сотрудничества" классов, отречение от идеи социалистич. революции и диктатуры пролетариата, от революц. методов борьбы, приспособление к бурж. национализму, превращение в фетиш легальности и бурж. демократии - таковы идейные основы правого О. Чаще всего он является отражением настроений тех слоев мелкой буржуазии или отд. групп рабочего класса - рабочей аристократии и бюрократии, к-рые имеют относительно сносные условия существования.

Уже в кон. 19 в. правый О. получил широкое распространение в рабочем движении. В качестве идейного знамени им широко использовались ревизионистские идеи Бернштейна, а позже и догматич. установки К. Каутского и др. После смерти К. Маркса и Ф. Энгельса в крупнейших с.-д. партиях Европы, во 2-м Интернационале ключевые позиции постепенно захватили правые оппортунисты (К. Каутский, Г. Гайндман, Г. Кунов и др.). В. И. Ленин, большевики, революц. марксисты др. стран на протяжении мн. лет вели непримиримую борьбу против правого О. После краха 2-го Интернационала (1914) оппортунистич. крыло в с.-д. партиях окончательно стало на путь перерождения, явилось предтечей значит, части партий совр. реформизма, унаследовавших идеи правого О. и полностью отрёкшихся от марксизма.

С возникновением междунар. коммунистич. движения О. неоднократно пытался закрепиться в его рядах, вёл борьбу против теории и практики ленинизма. Во 2-й пол. 20 в. правый О. в коммунистич. движении выступает как правый ревизионизм. Его представители (М.Джилас, И. Надь, Дж. Гейтс и др., в кон. 60-х гг.- Р. Гароди, Э. Фишер, Ф. Марек, Б. Петков и др.), прикрываясь флагом антидогматизма, " творческого развития марксизма-ленинизма", использовали в качестве идейных источников не только взгляды правых оппортунистов кон. 19 и нач. 20 вв., но и совр. бурж. и социал-реформистскую идеологию. В результате развернувшейся острой борьбы идейные позиции правого О. были разбиты, а его представители оказались вне коммунистич. движения.

" Левый" О. представляет собой весьма неустойчивую смесь ультрареволюц. теорий и авантюристич. тактич. установок, толкающих революц. рабочее движение на неоправданные действия, бессмысленные жертвы и поражения. Основой " левого" О. являются волюнтаристич. концепции, спекулирующие на революц. энтузиазме масс. Ставка на " революц. насилие" как на панацею от всех бед, игнорирование этапов общественно-экономич. развития, " подталкивание" революций и " кавалерийские атаки" в области экономики - таковы идейные основы " левого" О. Типичным примером " левого" О. является троцкизм. " Левый" О., как правило, выражает психологию и настроения тех групп мелкой буржуазии, крестьянства, представителей средних слоев, к-рые под нажимом безудержной эксплуатации или в обстановке трудностей социалистич. строительства впадают в крайнюю анархич. революционность. " Левый" О. пытается столкнуть революц. движение на авантюристич. путь, своими ошибочными действиями, прикрываемыми революц., марксистской фразой, дискредитирует коммунизм и тем играет на руку буржуазии.

Ленин в работе " Детская болезнь „левизны" в коммунизме" (1920) дал анализ сущности и различных форм проявления " левого" О., возникших в период формирования мирового коммунистич. движения.

С нач. 60-х гг. опасность " левого" О. вновь возрастает: его отличит, чертой является то, что он начал складываться как догматизм, а в дальнейшем обрёл форму " левого" ревизионизма, причём его особо опасной разновидностью является маоизм, ставший в 50-е гг. гос. идеологией в КНР. В коммунистич. движении идёт острая борьба между марксистами-ленинцами и " левыми" О. по осн. проблемам обществ, развития: сущности совр. эпохи, роли главных революц. сил, вопросов войны и мира, роли стран " третьего мира", разрядки междунар. напряжённости, путей строительства социализма и расширения демократии и т. д. Совр. " левый" О. пытается подменить своими концепциями все составные части марксизма-ленинизма, расколоть содружество социалистич. стран и междунар. коммунистич. движение, клеветнически отождествляет СССР и США как " две сверхдержавы", стремится столкнуть коммунистов на авантюристич. путь. Борьба как против правого, так и против " левого" О. является актуальной задачей мирового коммунистич. движения.

Лит.: Маркс К. и Энгельс Ф., [Письмо] А. Бебелю, В. Либкнехту, В. Бракке и др. (" Циркулярное письмо"), 17 -18 сент. 1879 г., Соч., 2 изд., т. 34; Ленин В. И., Марксизм и ревизионизм, Поли. собр. соч., 5 изд., т. 17; его же, Разногласия в европейском рабочем движении, там же, т. 20; е г о ж е, Исторические судьбы учения Карла Маркса, там же, т. 23; его же, Марксизм и реформизм, там же, т. 24; е г о ж е, Крах II Интернационала, там же, т. 26; В. И. Ленин против догматизма, сектантства, " левого" оппортунизма. Сб., М., 1964; В. И. Ленин против ревизионизма. Сб., М., 1958; Программа КПСС (Принята XXII съездом КПСС), М., 1973; Программные документы борьбы за мир, демократию и социализм, М., 1961; Международное совещание коммунистических и рабочих партий, М., 1969; Ревизионизм - главная опасность, М., 1958; Б у т е н к о А. П., Основные черты современного ревизионизма (Критический очерк), М., 1959; Марксизм-ленинизм - единое интернациональное учение, т. 1 - 3, М., 1968- 1969; Критика теоретических основ маоизма, М., 1973. А. П. Бутенко.

ОПРАВДАНИЕ, оправдательный приговор, признание судом подсудимого невиновным в предъявленном ему обвинении. Оправдат. приговор выносится в случаях, если не установлено событие преступления, в деянии подсудимого нет состава преступления или не доказано участие подсудимого в совершении преступления. Оправданный считается несудимым независимо от оснований О. При О. отменяются меры обеспечения конфискации имущества, а также мера пресечения. Оправданный освобождается из-под стражи в зале суда немедленно после провозглашения приговора. Оправдат. приговор может быть отменён в кассационном порядке (см. Кассация) только по протесту прокурора, по жалобе потерпевшего или оправданного (последний вправе обжаловать приговор в части мотивов и оснований О.). Оправдат. приговоры, вынесенные Верх. судом союзной республики и Верх, судом СССР, кассационному обжалованию и опротестованию не подлежат. Пересмотр оправдательного приговора в порядке надзора допускается лишь в течение 1 года по вступлении его в силу.

ОПРАВКА, приспособление для крепления на металлорежущих станках обрабатываемых изделий или режущих инструментов, имеющих центр, отверстия. Простейшие О.- стержень с центровыми отверстиями для закрепления на центрах станка или стержень с конусом, соответствующим конусному отверстию в шпинделе станка. Часто применяют также различные разжимные О.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ, дефиниция (от лат. definitio), указание или объяснение значения (смысла) термина и (или) объёма (содержания) выражаемого данным термином понятия; этот термин (понятие) наз. определяемым (лат. definiendum, сокр. Dfd), а совокупность действий (слов), осуществляющих его О., - определяющим (лат. definiens, сокр. Dfn). Dfd О. всегда является словом (термином, именем понятия). Dfn же может быть как словом, так и нек-рым конкретным, совершенно реальным предметом - и в этом последнем случае О. состоит в указании на этот предмет в самом буквальном смысле, напр, жестом или к.-л. др. способом " предъявления" этого предмета. Такие О., по самой сути несущие информацию лишь об объёме (или даже части объёма) определяемого понятия, наз. о с т е н с и в н ы м и. Они играют важную роль в процессе познания и в повседневной практике: именно с их помощью происходит то " первоначальное накопление" понятий, без к-рого было бы вообще невозможно познание.

Поскольку указание на предмет (или класс предметов), характерное для остенсивного О., может быть дано и в чисто словесной форме (с помощью указательных местоимений, описаний и т. п.), такие языковые конструкции естественно причислить к тому же классу О. Но подавляющее большинство О., в к-рых и Dfd и Dfn имеют языковую природу, определяют значения нек-рых выражений (Dfd) через значения др. выражений (Dfn), принимаемые (в рамках данного О.) за известные. Такие О. наз. вербальными; каждое из них представляет собой предложение нек-рого языка (совокупность предложений сложного О. всегда можно считать одним сложным предложением). Посредством вербальных О. вводятся нозые термины или поясняются значения терминов, введённых ранее; в обоих случаях такое О. наз. номинальным. Если же имеется в виду, что определяется не сам по себе термин, а обозначаемый им предмет или понятие (его денотат - см. Семантика), то О. наз. реальным; назначение такого О. состоит в том, чтобы установить, что термины Dfd и Dfn обозначают один и тот же предмет (деление О. на номинальные и реальные носит условный характер).

До сих пор речь шла о явных (иначе - эксплицитных) О., позволяющих не только вводить Dfd в качестве " сокращения" для Dfn в любой контекст, но и, наоборот, в случае надобности, удалять из произвольного контекста Dfd, " расшифровывая" его посредством Dfn. Классич. примером О. такого рода могут служить рассмотренные ещё Аристотелем О. " через род и видовое отличие", утверждающие равнообъёмность Dfd и Dfn, в к-рых Dfd выделяется из нек-рой более широкой области предметов (рода) посредством указания нек-рого его специфи-ч. свойства (видового отличия). С совр. точки зрения " род" и " видовое отличие" зачастую если и различаются, то лишь грамматически, а не логически; напр., в О. " квадрат есть прямоугольный ромб" " родом" является " ромб", а " видовым отличием" - " прямоугольный", а в О. " квадрат есть равносторонний прямоугольник" " род" - это " прямоугольник", а " видовое отличие" - " равносторонний"; между тем оба они с точностью до способа выражения (к-рый, впрочем, можно было бы и считать индивидуальной характеристикой О.) эквивалентны О. " квадрат - это ромб и прямоугольник одновременно", в к-ром оба члена Dfn абсолютно равноправны. В науч. практике весьма распространены также неявные (имплицитные) О., в к-рых Dfd непосредственно не дан, но может быть " извлечён" из нек-рого контекста. Иногда неявные О. удаётся преобразовать в явные (именно такое преобразование, напр., составляет процесс решения системы уравнений, к-рая с самого начала может рассматриваться как О. неизвестных, хотя и неявное) - это т. н. контекстуальные О.

Но особенно важны случаи, когда неявный характер О. неустраним; именно так обстоит дело в аксиоматич. теориях, аксиомы к-рых неявно определяют входящие в них исходные термины данной теории (см. Аксиоматический метод). Делению О. на остенсивные и вербальные, реальные и номинальные в совр. логике соответствует различение т. н. семантических и синтаксических О.: в первых Dfd и Dfn представляют собой языковые выражения различных уровней абстракции (значение термина определяется через свойства предметов), во вторых Dfd и Dfn принадлежат одному семантич. уровню (значение выражения определяется через значения др. выражений). К синтаксич. О., играющим важную роль в матем. логике и её приложениях к основаниям математики и построению искусственных алгоритмических языков для программирования на электронно-вычислительных машинах, предъявляются требования эффективности отыскания (построения) Dfd и различения Dfd от объектов, не удовлетворяющих данному О. Эти требования весьма " созвучны" важнейшему для матем. естествознания критерию конструктивности, измеримости введённой данным О. величины. Явные реальные О., в к-рых Dfd вводится описанием способа его построения, образования, изготовления, достижения и т. п., принято называть генетическими. В приложениях к физике и др. естеств. наукам эти требования реализуются посредством использования т. н. операционных О., т. е. О. физич. величин через описание операций, посредством к-рых они измеряются, и О. свойств предметов через описание реакций этих предметов на определённые экспериментальные воздействия. Соответственно таковы, напр., О. длины предмета через результаты измерения и О. понятия " щелочной раствор" фразой " щелочным наз. раствор, при погружении в к-рый лакмусовая бумага синеет".

Генетические О. в дедуктивных науках реализуются в виде индуктивных и рекурсивных О. Индуктивное О. (и. о.) к.-л. функции или предиката состоит из т. н. прямых пунктов, указывающих значения определяемой функции или предиката для объектов из области её (его) определения, и косвенного пункта, согласно к-рому никакие объекты, не подпадающие под действие прямых пунктов данного О., не удовлетворяют ему. Различают фундаментальные и. о. нек-рых предметных областей и нефундаментальные и. о., выделяющие те или иные подмножества из ранее определённых областей; так, и. о. натурального числа (или формулы исчисления высказываний; см. Логика, Логика высказываний) фундаментально, а О. чётного числа (соответственно теоремы исчисления высказываний) нефундаментально. И. о. обоих видов, порождающие определяемые ими объекты в нек-ром порядке, оправдывают применение к объектам Доказательств по математической индукции. Особенно важны случаи, когда этот порядок порождения однозначен; такие и. о., имеющие форму системы равенств или эквивалентностей (часть К-рых суть явные О. нек-рых " начальных" значений определяемой функции ' или предиката, а другие описывают способы получения новых значений из уже определённых с помощью различных подстановок и " схем рекурсии" - см. Рекурсивные функции), наз. рекурсивными О. (р. о.). Р. о. в известном смысле наилучшим образом реализуют требования эффективности О., столь важные в общефилософском и практич. отношениях.

К О. всех видов (в т. ч. рассмотренных выше) предъявляется ряд общих требований (принципов) О., нарушение к-рых может обесценить предложения, формально имеющие форму О. Правило п е р е в о-д и м о с т и (или элиминируемости), состоящее в требовании равнообъёмности Dfd и Dfn реальных О., предусматривает возможность взаимной замены Dfd и Dfn явных номинальных О. Правило однозначности (или определённости) - это естеств. требование единственности Dfd для каждого Dfn (но, конечно, не наоборот: гарантируя отсутствие омонимии в пределах данной теории, правило это вовсе не запрещает синонимии; не говоря уже о том, что любое явное О. порождает синонимичную пару Dfd=Dfn, для одного и того же понятия или термина возможны различные О., сравнение к-рых часто бывает весьма плодотворным). Наконец, правило отсутствия порочного круга: Dfn О. не должен зависеть от Dfd (см. Круг в доказательстве, Круг в определении). Выполнение этого столь естеств. условия (представляется очевидным, что при его нарушении О. " ничего не определяет") связано с серьёзными трудностями, тем более, что, например, & " точнейшей из наук" - математике - оказывается чрезвычайно неудобным полностью отказаться от нарушающих этот принцип т. н. непредикативных определений (см. также Парадокс, Типов теория). Следует отметить, что индуктивные и рекурсивные О., в формулировках к-рых Dfn содержит упоминание о Dfd, на самом деле всё же удовлетворяют этому требованию: анализ таких О. показывает, что на каждом шаге порождения определяемых ими объектов Dfd используется не целиком, а лишь в объёме предварительно построенной (на предыдущих шагах) своей части.

Т. о., выполнение " правил О.", равно как и упомянутого выше " принципа эффективности", отнюдь не является неким универсальным, абсолютным " законом", а предполагает непременный учёт конкретных особенностей данной ситуации. В неформализованных научных теориях, а тем более в практич. деятельности, где роль О. ничуть не менее важна, чем в дедуктивных науках, О. вообще, как правило, не имеют точных канонизированных форм, к-рым было преим. посвящено предыдущее изложение. Чаще всего они носят неявный и контекстуальный характер, причём роль полного " раскрытия" определяемого понятия сплошь и рядом выполняется всем контекстом в целом. (Классич. пример диалектического подхода к проблеме О. представляет собой " Капитал" К. Маркса, где категории политической экономии не вводятся раз и навсегда формальными дефинициями, а раскрываются всё глубже и глубже в ходе логич. и историч. анализа.) Тенденции к уточнению и спецификации видов О., применяемых в тех или иных конкретных областях, при всей их плодотворности не дают никаких оснований рассчитывать на некую единую, жёсткую и полную " классификацию" О., так что нечего и говорить о единой " теории О." (хотя, конечно, применение этого термина в рамках конкретной методологич. схемы вполне оправданно). Подобно понятию доказательства, к-рое, при всех его возможных уточнениях, означает в конечном счёте " всё, что доказывает", термин " О." относится не только к формальным объектам того или иного спец. вида, а ко всему, что так или иначе что-то определяет. О. различных уровней абстракции, точности и формальности не только составляют тот базис, на к-ром строится всё науч. познание, но и служат важнейшим инструментом при построении конкретных науч. дисциплин и, более широко, при осмыслении любой практич. деятельности. См. также Определение через абстракцию. Понятие.

Лит.: Энгельс Ф., Анти-Дюринг, Маркс К. н Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20; Аристотель, Аналитики первая и вторая, пер. с греч., М., 1952; Т а р с к н и А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Горский Д. П., О видах определений и их значении в науке, в сб.: Проблемы логики научного познания, М., 1964; К а р р и X. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969, гл. 1 - 3. Ю. А. Гастев.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ, несамостоятельный член предложения, грамматически подчинённый существительному (или имени - в языках без грамматич. дифференциации имён) и указывающий на признак предмета, явления и т. п. О. может быть (в рус., нем., лат. и мн. др. индоевропейских языках, в араб., банту и пр.) согласуемым (" большой город", " наш сад") и несогласуемым (" дом с мезонином", нем. das Buch des Genossen - " книга товарища"). В нек-рых языках (семитских, тюрк, и др.) присоединение О. (соответствующего рус. О. в родит, падеже) к имени требует морфологич. изменения определяемого слова (т. н. изафетная конструкция). Особым видом О. является приложение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СУДЕБНОЕ, по советскому праву: 1) решение суда первой инстанции по отд. процессуальным вопросам, возникающим входе уголовног о или гражд. дела, а также о прекращении дела; 2) всякое решение, принятое судом кассационной или надзорной (кроме президиумов и пленумов судов) инстанций (об оставлении без изменения, отмене или изменении приговора или постановления суда первой инстанции); 3) решение о назначении принудит, мер медицинского характера; 4) решение суда, к-рым обращается внимание соответствующих орг-ций или должностных лиц на обстоятельства, способствовавшие правонарушениям (т. н. частное, или особое, О. с.). О. с. выносятся в совещательной комнате либо после совещания судей на месте, оформляются в виде отдельного документа или заносятся в протокол судебного заседания. Закон устанавливает перечень О. с., к-рые могут быть обжалованы или опротестованы (напр., ст. 331 УПК РСФСР).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ АБСТРАКЦИЮ, способ описания (выделения, " абстрагирования") не воспринимаемых чувственно (" абстрактных") свойств предметов путём задания на предметной области нек-рого отношения типа равенства (тождества, эквивалентности). Такое отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, индуцирует разбиение предметной области на непересекающиеся классы (классы абстракции, или классы эквивалентности), причём элементы, принадлежащие одному и тому же классу, неотличимы по определяемому т. о. свойству. Так, напр., в политической экономии определяется стоимость (через отношение обмениваем ости товаров), в теории множеств - мощность множеств (через отношение теоретико-множественной эквивалентности). О. ч. а. всегда (хотя обычно и неявно) опирается на т. н. принцип абстракции, или принцип свёртывания, согласно к-рому каждому свойству соотносится класс (множество) объектов, обладающих этим свойством. В практич. приложениях этот принцип весьма удобен, естествен и плодотворен; но постулирование его как универсального методологич. закона приводит к трудностям, проявляющимся прежде всего в виде парадоксов (логики и теории множеств). См. Аксиоматический метод. Метаматематика, Непротиворечивость.

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ, одно из основных понятий матем. анализа, к к-рому приводится решение ряда задач геометрии, механики, физики. О. и. является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм), соответствующих функции f(x) и отрезку

[а, б]. Геометрически О. и. выражает площадь " криволинейной трапеции", ограниченной отрезком [а, о] оси Ох, графиком функции f(x) и ординатами точек графика, имеющих абсциссы а и Ь. Точное определение и обобщение О. и. см. в статьях Интеграл, Интегральное исчисление.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ, детерминант, особого рода матем. выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана матрица порядка п, т. е. квадратная таблица, составленная из n² элементов (чисел, функций и т. п.):
[ris]

(каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами: первый указывает номер строки, второй - номер столбца, на пересечении к-рых находится этот элемент). Определителем матрицы (1) наз. многочлен, каждый член к-рого является произведением п элементов матрицы (1), причём из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида
[ris]

В этой формуле а, b,... y есть произвольная перестановка чисел 1, 2,..., п. Перед членом берётся знак+, если перестановка а, (3,..., у чётная, и знак -, если эта перестановка нечётная. [Перестановку называют чётной, если в ней содержится чётное число нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит впереди меньшего, и нечётной - в противоположном случае; так, напр., перестановка 51243 - нечётная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.] Суммирование производится по всем перестановкам а, (3,..., у чисел 1, 2,..., п. Число различных перестановок п симво-

лов равно п\ = l-2-З'...'п; поэтому О. содержит п\ членов, из к-рых 1/2 n! берётся со знаком + и 1/2 п! со знаком -. Число п наз. порядком О.

О., составленный из элементов матрицы (1), записывают в виде:
[ris]

(или, сокращённо, в виде |a_ir|). Для О. 2-го и 3-го порядков имеем формулы:
[ris]

О. 2-го и 3-го порядков допускают простое геом. истолкование:
[ris]

равен площади параллелограмма, построенного на векторах a₁ = (x₁, y₁) и а₂ = (x₂, y₂), а
[ris]

равен объёму параллелепипеда,

построенного на векторах а₁ = (х₁, у₁, z₁), а₂ = (х₂, y₂, z₂) и а₃ = (х₃, y₃, z₃) (системы координат предполагаются прямоугольными).

Теория О. возникла в связи с задачей решения систем алгебраич. уравнений 1-й степени (линейные уравнения). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде:
[ris]

Эта система имеет одно определённое решение, если О. |a_ir |, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю; тогда неизвестное х_т(т = 1, 2,..., п) равно дроби, у к-рой в знаменателе стоит О. |a_ir |, а в числителе - О., получаемый из |a_ir | заменой элементов m-го столбца (т. е. коэффициентов при х_т) числами b₁, b₂,..., b_п. Так, в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными
[ris]

Если b₁ = b₂ =..., = b_п = О, то систему (4) наз. однородной системой линейных уравнений. Однородная система имеет отличные от нуля решения, только если |a_ir | = 0. Связь теории О. с теорией линейных уравнений позволила применить теорию О. к решению большого числа задач аналитич. геометрии. Многие формулы аналитич. геометрии удобно записывать при помощи О.; напр., уравнение плоскости, проходящей через

точки с координатами (х₁, у₁, z₁), (х₂, y₂, z₂), (х₃, y₃, z₃) может быть записано в виде:
[ris]

О. обладают рядом важных свойств, к-рые, в частности, облегчают их вычисление. Простейшие из этих свойств следующие:

1) О. не изменяется, если в нём строки и столбцы поменять местами:
[ris]

2) О. меняет знак, если в нём поменять местами две строки (или два столбца); так, напр.:
[ris]

3) О. равен нулю, если в нём элементы двух строк (или двух столбцов) соответственно пропорциональны; так, напр.:
[ris]

4) общий множитель всех элементов строки (или столбца) О. можно вынести за знак О.; так, напр.:
[ris]