XVIII. Кино 5 страница. Дошедшие до нас соч. А. делятся по содержанию на 7 групп

Дошедшие до нас соч. А. делятся по содержанию на 7 групп. Логические трактаты, объединённые в своде " Органон": " Категории" (рус. пер., 1859, 1939), " Об истолковании" (рус. пер., 1891), " Аналитики первая и вторая" (рус. пер., 1952), " Топика". Физические трактаты: " Физика", " О происхождении и уничтожении", " О небе", " О ме-теорологич. вопросах". Биологические трактаты: " История животных", " О частях животных" (рус. пер., 1937), " О возникновении животных" (рус. пер., 1940), " О движении животных", а также трактат " О душе" (рус. пер., 1937). Соч. о " первой философии", рассматривающее сущее как таковое и получившее впоследствии название " Метафизики" (рус. пер., 1934). Этические соч.- т. н. " Никомахова этика" (посвящённая Никомаху, сыну А.; рус. пер., 1900, 1908) и " Эвдемова этика" (посвящённая Эвдему, ученику А.). Социально-политические и исторические соч.: " Политика" (рус. пер., 1865, 1911), " Афинская полития" (рус. пер., 1891, 1937). Работы об искусстве, поэзии и риторике: " Риторика" (рус. пер., 1894) и дошедшая неполностью " Поэтика" (рус. пер., 1927, 1957).

А. охватил почти все доступные для его времени отрасли знания. В своей " первой философии" (" метафизике") А. подверг критике учение Платона об идеях и дал решение вопроса об отношении в бытии общего и единичного. Единичное - то, что существует только " где-либо" и " теперь", оно чувственно воспринимаемо. Общее - то, что существует в любом месте и в любое время (" повсюду" и " всегда"), проявляясь при определ. условиях в единичном, через к-рое оно познаётся. Общее составляет предмет науки и постигается умом. Для объяснения того, что существует, А. принимал 4 причины: сущность и суть бытия, в силу к-рой всякая вещь такова, какова она есть (формальная причина); материя и подлежащее (субстрат) - то, из чего что-либо возникает (материальная причина); движущая причина, начало движения; целевая причина -то, ради чего что-либо осуществляется. Хотя А. признавал материю одной из первых причин и считал её нек-рой сущностью, он видел в ней только пассивное начало (возможность стать чем-либо), всю же активность приписывал остальным трём причинам, причём сути бытия - форме - приписал вечность и неизменность, а источником всякого движения считал неподвижное, но движущее начало - бога. Бог А.- " перводвигатель" мира, высшая цель всех развивающихся по собств. законам форм и образований. Учение А. о " форме" есть учение объективного идеализма. Однако идеализм этот, как заметил Ленин, во многих отношениях "... объективнее и отдаленнее, общее, чем идеализм Платона, а потому в натурфилософии чаще = материализму" (Полн. собр. соч., 5 изд., т. 29, с. 255). Движение, по А., есть переход чего-либо из возможности в действительность. А. различал 4 рода движения: качественное, или изменение; количественное - увеличение и уменьшение; перемещение-пространств. движение; возникновение и уничтожение, сводимые к первым двум видам.

По А., всякая реально существующая единичная вещь есть единство " материи" и " формы", причём " форма; " - присущий самому веществу " вид", принимаемый им. Один и тот же предмет чувств. мира может рассматриваться и как " материя" и как " форма". Медь есть " материя" по отношению к шару (" форме"), к-рый из меди отливается. Но та же медь есть " форма" по отношению к физ. элементам, соединением к-рых, по А., является вещество меди. Вся реальность оказывалась, т. о., последовательностью переходов от " материи" к " форме" и от " формы" к " материи".

В учении о познании и о его видах А. различал " диалектическое" и " аподиктическое" познание. Область первого - " мнение", получаемое из опыта, второго - достоверное знание. Хотя мнение и может получить весьма высокую степень вероятности по своему содержанию, опыт не является, по А., последней инстанцией достоверности знания, ибо высшие принципы знания созерцаются умом непосредственно. Цель науки А. видел в полном определении предмета, достигаемом только путём соединения дедукции и индукции: 1) знание о каждом отд. свойстве должно быть приобретено из опыта; 2) убеждение в том, что это свойство - существенное, должно быть доказано умозаключением особой логич. формы - категорич. силлогизмом. Исследование категорич. силлогизма, осуществлённое А. в " Аналитике", стало наряду с учением о доказательстве центр. частью его логич. учения. Связь трёх терминов силлогизма А. понимал как отражение связи следствия, причины и носителя причины. Осн. принцип силлогизма выражает связь между родом, видом и единичной вещью. Совокупность научного знания не может быть сведена к единой системе понятий, ибо не существует такого понятия, к-рое могло бы быть предикатом всех других понятий: поэтому для А. оказалось необходимым указать все высшие роды - категории, к которым сводятся остальные роды сущего.

Космология А. при всех достижениях (сведение всей суммы видимых небесных явлений и движений светил в стройную теорию) в нек-рых частях была отсталой в сравнении с космологией Демокрита и пифагореизма. Влияние геоцентрич. космологии А. сохранялось вплоть до Коперника. А. руководствовался планетной теорией Евдокса Книдского, но приписал планетным сферам реальное физич. существование: Вселенная состоит из ряда концентрич. сфер, движущихся с различными скоростями и приводимых в движение крайней сферой неподвижных звёзд. " Подлунный" мир, т. е. область между орбитой Луны и центром Земли, есть область беспорядочных неравномерных движений, а все тела в этой области состоят из четырёх низших элементов: земли, воды, воздуха и огня. Земля как наиболее тяжёлый элемент занимает центр. место, над ней последовательно располагаются оболочки воды, воздуха и огня. " Надлунный" мир, т. е. область между орбитой Луны и крайней сферой неподвижных звёзд, есть область вечноравномерных движений, а сами звёзды состоят из пятого - совершеннейшего элемента - эфира.

В области биологии одна из заслуг А.- его учение о биологич. целесообразности, основанное на наблюдениях над целесообразным строением живых организмов. Образцы целесообразности в природе А. видел в таких фактах, как развитие органич. структур из семени, различные проявления целесообразно действующего инстинкта животных, взаимная приспособленность их органов и т. д. В биол. работах А., служивших долгое время осн. источником сведений по зоологии, дана классификация и описание многочисл. видов животных. Материей жизни является тело, формой - душа, к-рую А. назвал " энтелехией". Соответственно трём родам живых существ (растения, животные, человек) А. различал три души, или три части души: растительную, животную (ощущающую) и разумную.

В этике А. выше всего ставится созерцат. деятельность разума (" дианоэтические" добродетели), к-рая, по его мысли, заключает в себе ей одной свойственное наслаждение, усиливающее энергию. В этом идеале сказалось характерное для рабовладельч. Греции 4 в. до н. э. отделение физ. труда, составлявшего долю раба, от умственного, составлявшего привилегию свободных. Моральным идеалом А. является бог - совершеннейший философ, или " мыслящее себя мышление". Этич. добродетель, под к-рой А. понимал разумное регулирование своей деятельности, он определял как середину между двумя крайностями (метриопатия). Напр., щедрость - середина между скупостью и расточительностью.

Искусство А. рассматривал как особый, основанный на подражании вид познания и ставил его в качестве деятельности, изображающей то, что могло бы быть выше исторического познания, имеющего своим предметом воспроизведение однократных индивидуальных событий в их голой фактичности. Взгляд на искусство позволил А.- в " Поэтике" и " Риторике" - развить глубокую, сближающуюся с реализмом теорию иск-ва, учение о художеств, деятельности и о жанрах эпоса и драмы.

А. различал три хорошие и три дурные формы управления гос-вом. Хорошими он считал формы, при к-рых исключена возможность корыстного использования власти, а сама власть служит всему обществу; это - монархия, аристократия и " полития" (власть среднего класса), основанная на смешении олигархии и демократии. Напротив, дурными, как бы выродившимися, видами этих форм А. считал тиранию, чистую олигархию и крайнюю демократию. Будучи выразителем полисной идеологии, А. был противником больших гос. образований. Теория гос-ва А. опиралась на огромный изученный им и собранный в его школе фактич. материал о греч. городах-государствах. Учение А., которого Маркс назвал вершиной древнегреч. философии (см. К. Маркс и Ф. Энгельс, Из ранних произв., 1956, с. 27), оказало громадное влияние на последующее развитие филос. мысли. В. Ф. Асмус.

На основе своей этич. и психологич. концепции А. развил теорию воспитания " свободнорождённых граждан" (см. Греция Древняя). Трём видам души, по А., соответствуют три взаимосвязанные стороны воспитания - физическое, нравственное и умственное. Цель воспитания состоит в развитии высших сторон души - разумной и животной (волевой). Природные задатки, навыки и разум - таковы, по А., движущие силы развития, на к-рые опирается воспитание. А. сделал первую в истории педагогики попытку дать возрастную периодизацию. Рассматривая воспитание как средство укрепления гос. строя, он считал, что школы должны быть только государственными и в них все граждане, исключая рабов, должны получать одинаковое воспитание, приучающее их к государственному порядку.

Своё экономич. учение А. основывал на предпосылке, что рабство - явление естественное и всегда должно быть основой произ-ва. Он исследовал товарно-денежные отношения и вплотную подошёл к пониманию различий между натуральным х-вом и товарным производством. А. установил 2 вида богатства: как совокупность потребит. стоимостей и как накопление денег, или как совокупность меновых стоимостей. Источником первого вида богатства А. считал производство - земледелие и ремесло и называл его естественным, поскольку оно возникает в результате производств. деятельности, направлено на удовлетворение потребностей людей и его размеры ограничены этими потребностями. Второй вид богатства А. называл противоестественным, т. к. оно возникает из обращения, не состоит из предметов непосредств. потребления и размеры его ничем не ограничиваются. А. делил науку о богатстве на экономию и хрематистику. Под экономией он понимал изучение естеств. явлений, связанных с производством потребительных стоимостей. К ней он относил и мелкую торговлю, необходимую для удовлетворения потребностей людей. Под хрематистикой А. понимал изучение про-тивоестеств. явлений, связанных с накоплением денег. Сюда же он причислял и крупную торговлю. К хрематистике А. относился отрицательно.

Противопоставление экономии и хрема-тистики привело А. к анализу внутр. природы товара и обмена. А. первым наметил разграничение между потребит. стоимостью и стоимостью товара. Он пытался анализировать меновую стоимость, но, не понимая роли труда в создании стоимости товара, утверждал, что только деньги делают сравнимыми различные товары. К. Маркс писал: " Гений Аристотеля обнаруживается именно в том, что в выражении стоимости товаров он открывает отношение равенства" (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 23, с. 70).

Маркс отмечал также, что А. прекрасно объяснил, как из меновой торговли между различными общинами возникает необходимость придать характер денег специфическому товару, имеющему стоимость (см. там же, т. 13, с. 100, прим. 3). Но ист. необходимости денег А. не понимал и считал, что деньги стали " всеобщим средством обмена" в результате соглашения. А. рассматривал деньги в функции средства обращения, мерила стоимости, функции сокровища.

Соч.: Aristotelis opera. Ed. Academia regia borussica, v. 1 - 5, В., 1831 - 70.

Лит.: Казанский А. П., Учение Аристотеля о значении опыта при познании,

Одесса, 1891; Бузе с кул В. П., " Афинская полития" Аристотеля как источник для истории государственного строя Афин до конца 5 в. до н. э., Хар., 1895} Карпов В., Натурфилософия Аристотеля и ее значение в настоящее время, М., 1911; Зелинский Ф. Ф., Педагогические воззрения Платона и Аристотеля, П., 1916? Лосев А. Ф., Критика платонизма у Аристотеля, М., 1929; Александров Г. Ф., Аристотель, М., 1940; Кечекьян

С. Ф., Учение Аристотеля о государстве и праве, М.- Л., 1947; Реуэль А. Л., Экономическое учение рабовладельческого общества, М., 1959; Лукасевич Я., Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики, пер. с англ., М., 1959; Лхманов А. С., Логическое учение Аристотеля, [М., I960]; Асмус В. Ф., Искусство и действительность в эстетике Аристотеля, в сб.: Из истории эстетической мысли древности и средневековья, М., 1961; Зубов В. П., Аристотель, М., 1963; Доватур А., Политика Политии Аристотеля, М.- Л., 1965; В о-nitz Н., Aristotelische Studien, [Tl] 1 - 5, W., 1862 - 67; Maier H., Die Svllogistik des Aristoteles. TI 1 - 2, Tubingen, 1896 - 1900; Brentano F., Aristoteles und seine Weltanschauung, Lpz., 1911; Rоss W. D., Aristotle, L., 1923, 5 ed., 1956; Robin L., Aris-tote. P., 1944; Allan D. D., The philosophy of Aristotle, Oxf., 1952; Воnitz H., Index Aristote.icus, В., 1955; Тhei1er W., Die Entstehung der Metaphysik des Aristoteles, " Museura helveticum", 1958, Jg 15, fasc. 2.

Библ.: Totok W., Handbuch der Geschichte der Philosophic, Bd 1, Fr./M., 1964.

АРИСТОФАН (Aristophanes) (ок. 445- ок. 385 до н. э.), древнегреч. драматург, " отец комедии". Биографич. сведения об А. очень скудны. Из приписываемых ему 44 комедий полностью сохранилось 11: " Ахарняне" (425), " Всадники" (424), " Облака" (423), " Осы" (422), " Мир"

(421), " Птицы" (414), " Женщины на празднике Фесмофорий" и " Лисистрата" (411), " Лягушки" (405), " Женщины в народном собрании" (392), " Плутос" (388); от остальных уцелело лишь ок. 900 мелких фрагментов.

Комедии А. содержали критику политики войны, усугубляющегося социального неравенства, идейных течений, подрывающих традиц. устои афинской демократии. Для А. характерно использование отд. черт конкретных ист, лиц, современников поэта (кожевник Клеон, философ Сократ).

Обличит., сатирич. смелость комедий А. получила высокую оценку в эпоху Возрождения у Эразма Роттердамского, Ф. Рабле; в 18 в.- у Г. Филдинга, в 19 в.- у Г. Гейне, В. Г. Белинского, Н. В. Гоголя, А. И. Герцена, Н. Г. Чернышевского, в сов. критике - у А. В. Луначарского. Переделку комедии " Осы" представляют " Сутяги" Ж. Расина; обработку комедии " Птицы" мы находим у И. В. Гёте, комедии " Мир" - у Л. Фейхтвангера (1917). " Лисистрата" ставилась в муз. студии МХАТ (1923) и в театре С. Э. Радлова (1924). Портрет стр. 195.

Соч.: Aristophane. Texte etabli et trad. par V. Coulon et H. Van Daele, v. 1 - 5, P., 1949 - 54; в рус. пер.- Комедии, т. 1 - 2, М.- Л., 1934; то же, т. 1-2, М., 1954.

Лит.: Соболевский С. И., Аристофан и его время, М-., 1957; Головня В. В., Аристофан, М., 1955; Ярхо В., Аристофан, М., 1954; Аристофан. Сб. статей [к.2400-летию со дня рождения], [М.], 1956.

АРИСТЭ Пауль Александрович (р.3.2. 1905), советский языковед, академик АН Эст. ССР (1954). Окончил Тартуский ун-т (1929); свои знания по финно-угроведению, особенно фонетике, совершенствовал в Упсале, Хельсинки и Гамбурге. Проф. Тартуского ун-та, почётный чл. ряда междунар. об-в Финляндии, почётный чл. Венг. АН. Гл. редактор журн. " Советское финно-угроведение". Основные труды посвящены преим. эст. языку и другим прибалтийско-финским языкам и диалектам, проблемам общего финно-угорского языкознания, в частности экспериментальному и ист. изучению эст. фонетики и фонологии. Изучал водский, ливский и ижорский языки, а также эсперанто.

С о ч.: Eesti keele foneetika, 3 изд., Tartu, 1965; Vadja keele grammatika, Tartu, 1948; Sona sona korvale, Tallinn, 1965; К вопросу о развитии ливского языка, Тр. Ин-та языкознания АН СССР, 1954, т. 4.

К. Е. Майтинская.

АРИТМИЯ (от греч. а - отрицат. частица nrhythmos - ритм), нарушение нормального ритма сердца. А. проявляется в учащении (тахикардия) или замедлении (брадикардия) сокращений сердца, в появлении преждевременных или добавочных сокращений (экстрасистолия), в приступах сердцебиений (пароксизмальная тахикардия), в полной неправильности промежутков между отдельными сокращениями сердца (мерцательная аритмия). А. может возникать вследствие заболеваний сердца (миокардит, кардиосклероз), быть функциональной или вызываться нарушениями нервной регуляции сердца, напр. при нарушении связи между предсердиями и желудочками (блокада) и пр. Так называемая дыхательная, или юношеская, А. (учащение сердцебиений при вдохе) представляет физиол. явление у детей и подростков. Нек-рые А. приводят к нарушению кровообращения, вызывают неприятные ощущения " перебоев", головокружения и пр., другие А. больным не ощущаются. Лечение направлено на устранение основного заболевания и на восстановление норм. ритма сердца.

АРИФ (полное имя - Мамед Ариф Магеррам оглы Дадаш - заде) (р. 12.6.1904, Баку), советский критик и литературовед, академик АН Азерб. ССР (1958), заслуженный деятель науки Азерб. ССР (I960). Чл. КПСС с 1941. Директор Института литературы и языка им. Низами (1939-59); председатель Верховного Совета Азерб. ССР 6-го созыва. Печатается с 1923. Автор книг " Владимир Маяковский" (1940), " Крылов и азербайджанская литература" (1944), " Виссарион Белинский" (1948, переизд. 1954), монографий " Творческий путь Джафара Джабарлы" (1955) и " Драматургия Самеда Вургуна" (1964). А.- один из авторов и редакторов " Истории азербайджанской литературы" и редактор " Истории азербайджанской советской литературы", ч. 1-2, 1967. Переводит соч. Н. В. Гоголя, А. П. Чехова, Л. Н. Толстого, М. Горького, М. Сервантеса, А. Барбюса, Р. Тагора и др. Награждён 2 орденами.

Соч.: Эдэби-тэнгиди мэгалэлэр, Бакы, 1958; Сечилмиш эсэрлэри, ч. 1, Бакы, 1967; в рус. пер.- Литература азербайджанского народа, Баку, 1958.

Лит.: Писатели Советского Азербайджана (Биография, справочник), Баку, 1959; Мэмэд Ариф Дадашзадэ. Библиографиjа, Бакы, 1965. К. Талыбзаде.

АРИФМЕТИКА (греч. arithmetike, от arithmos - число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.

Владение достаточно развитым понятием натурального числа и умение производить действия с числами необходимы для практич. и культурной деятельности человека. Поэтому А. является элементом дошкольного воспитания детей и обязательным предметом школьной программы.

С помощью натуральных чисел конструируются многие матем. понятия (напр., основное понятие матем. анализа - действительное число). В связи с этим А. является одной из основных матем. наук. Когда делается упор на логич. анализ понятия числа, то иногда употребляют термин теоретическая арифметика. А. тесно связана с алгеброй, в к-рой, в частности, изучаются действия над числами без учёта их индивидуальных свойств. Индивидуальные свойства целых чисел составляют предмет чисел теории.

Историческая справка.Возникнув в глубокой древности из практич. потребностей счёта и простейших измерений, А.развивалась в связи с усложнением хозяйственной деятельности и социальных отношений, денежными расчётами, задачами измерений расстояний, времени, площадей и требованиями, к-рые предъявляли кней другие науки.

О возникновении счёта и о начальных стадиях образования арифметич. понятий судят обычно по наблюдениям, относящимся к процессу счёта у первобытных народов, и, косвенным образом, путём изучения следов аналогичных стадий, сохранившихся в языках культурных народов и наблюдающихся при усвоении этих понятий детьми. Эти данные говорят о том, что развитие тех элементов мыслительной деятельности, к-рые лежат в основе процесса счёта, проходит ряд промежуточных этапов. Кним относятся: умение узнавать один и тот же предмет и различать предметы в подлежащей счёту совокупности предметов; умение устанавливать исчерпывающее разложение этой совокупности на элементы, отличимые друг от друга ивместе с тем равноправные при счёте (пользование именованной " единицей" счёта); умение устанавливать соответствие между элементами двух множеств, вначале непосредственно, а затем сопоставлением их с элементами раз навсегда упорядоченной совокупности объектов, т. е. совокупности объектов, расположенных в определённой последовательности. Элементами такой стандартной упорядоченной совокупности становятся слова (числительные), применяемые при счёте предметов любой качественной природы иотвечающие образованию отвлечённого понятия числа. При самых различных условиях можно наблюдать сходные особенности постепенного возникновения и усовершенствования перечисленных навыков и отвечающих им арифметич. понятий.

Сначала счёт оказывается возможным лишь для совокупностей из сравнительно небольшого числа предметов, за пределами к-рого количественные различия осознаются смутно ихарактеризуются словами, являющимися синонимами слова " много"; при этом орудием счёта служат зарубки на дереве (" бирочный" счёт), счётные камешки, чётки, пальцы рук и т. п., а также множества, заключающие постоянное число элементов, напр.: " глаза" - как синоним числительного " два", кисть руки (" пясть") - как синоним и фактич. основа числительного " пять", и т. п.

Словесный порядковый счёт (раз, два, три ит. д.), прямую зависимость к-рого от пальцевого счёта (последовательное произнесение названий пальцев, частей рук) в нек-рых случаях можно проследить непосредственно, связывается в дальнейшем со счётом групп, содержащих определённое число предметов. Это число образует основание соответствующей системы счисления, обычно, в результате счёта по пальцам двух рук, равное 10; Естречаются, однако, и группировки по 5, по 20 (французское 80 " quatre-vingt" = = 4 X 20), по 40, по 12 (" дюжина"), по 60 и даже по 11 (Новая Зеландия). В эпоху развитых торговых сношений способы нумерации (как устной, так и письменной) естественно обнаруживали тенденцию к единообразию у общавшихся между собой племён и народностей; это обстоятельство сыграло решающую роль в установлении и распространении применяемой в наст. время системы нумерации (счисления), принципа поместного (поразрядного) значения цифр и способов выполнения арифметич. действий. Повидимому, аналогичными причинами объясняется и общеизвестное сходство имён числительных в различных языках: напр., два-dva (санскр.), бvо (греч.), duo (лат.), two (англ.).

Источником первых достоверных сведений о состоянии арифметич. знаний в эпоху древних цивилизаций являются письменные документы Др. Египта (папирусы математические), написанные приблизительно за 2 тыс. лет до н. э. Это - сборники задач с указанием их решений, правил действий над целыми числами и дробями со вспомогательными таблицами, без каких бы то ни было пояснений теоретич. характера. Решение нек-рых задач в этом сборнике производится, по существу, с помощью составления и решения ур-ний; встречаются также арифметич. и геом. прогрессии.

О довольно высоком уровне арифметич. культуры вавилонян за 2-3 тыс. лет до н. э. позволяют судить клинописные математические тексты. Письменная нумерация вавилонян в клинописных текстах представляет собой своеобразное соединение десятичной системы (для чисел, меньших 60) с шестидесятиричной, с разрядными единицами 60, 60² и т. д. Наиболее существенным показателем высокого уровня А. является употребление шестидесятиричных дробей с распространением на них той же системы нумерации, аналогично современным десятичным дробям. Техника выполнения арифметич. действий у вавилонян, в теоретич. отношении аналогичная обычным приёмам в десятичной системе, осложнялась необходимостью прибегать к обширным таблицам умножения (для чисел от 1 до 59). В сохранившихся клинописных материалах, представлявших собой, по-видимому, учебные пособия, находятся, кроме того, и соответствующие таблицы обратных чисел (двузначные и трёхзначные, т. е. с точностью до 1/60² и 1/60³), применявшихся при делении.

У древних греков практич. сторона А. не получила дальнейшего развития; применявшаяся ими система письменной нумерации с помощью букв алфавита была значительно менее приспособлена для производства сложных вычислений, нежели вавилонская (показательно, в частности, что древнегреч. астрономы предпочитали пользоваться шестидесятиричной системой). С другой стороны, др.-греч. математики положили начало теоретич. разработке А. в части, касавшейся учения о натуральных числах, теории пропорций, измерения величин и - в неявной форме- также и теории иррациональных чисел. В " Началах" Евклида (3 в. до н. э.) имеются сохранившие своё значение и до сих пор доказательство бесконечности числа простых чисел, основные теоремы о делимости, алгоритмы для нахождения общей меры двух отрезков и общего наибольшего делителя двух чисел (см. Евклида алгоритм), доказательство несуществования рационального числа, квадрат к-рого равен 2 (иррациональность числа 2^1/2 ), и изложенная в геом. форме теория пропорций. К рассматривавшимся теоретико-числовым задачам относятся задачи о совершенных числах (Евклид), о пифагоровых числах, а также - уже в более позднюю эпоху - алгоритм для выделения простых чисел (Эратосфена решето) и решение ряда неопределённых ур-ний 2-й и более высоких степеней (Диофант).

Существенную роль в образовании понятия бесконечного натурального ряда чисел сыграл " Псаммит" Архимеда (3 в. до н. э.), в к-ром доказывается возможность именовать и обозначать сколь угодно большие числа. Соч. Архимеда свидетельствуют о довольно высоком искусстве в получении приближённых значений искомых величин: извлечение корня из многозначных чисел, нахождение рациональных приближений для иррациональных чисел, напр.

[ris]

Римляне не продвинули вперёд технику вычислений, оставив, однако, дошедшую до нашего времени систему нумерации (римские цифры), мало приспособленную для производства действий и применяемую в настоящее время почти исключительно для обозначения порядковых чисел.

Трудно проследить преемственность в развитии математики в отношении предыдущих, более древних, культур; однако чрезвычайно важные этапы в развитии А. связываются с культурой Индии, оказавшей влияние как на страны Передней Азии и Европы, так и на страны Вост. Азии (Китай, Япония). Помимо применения алгебры к решению задач арифметич. содержания, наиболее существенная заслуга индийцев - введение позиционной системы счисления (с применением десяти цифр, включая нуль для обозначения отсутствия единиц в каком-либо из разрядов), сделавшей возможной разработку сравнительно простых правил выполнения основных арифметич. действий.

Учёные средневекового Востока не только сохранили в переводах наследие др.-греч. математиков, но и содействовали распространению и дальнейшему развитию достижений индийцев. Методы выполнения арифметич. действий, в значит. части ещё далёкие от современных, но уже использующие преимущества позиционной системы счисления, с 10 в. н. э. стали постепенно проникать в Европу, раньше всего в Италию и Испанию.

Сравнительно медленный прогресс А. в ср. века сменяется к нач. 17 в. быстрым усовершенствованием приёмов вычисления в связи с возросшими практич. запросами к технике вычислений (задачи мореходной астрономии, механики, усложнившиеся коммерческие расчёты и т. п.). Дроби со знаменателем 10, употреблявшиеся ещё индийцами (при извлечении квадратных корней) и неоднократно обращавшие на себя внимание и европ. учёных, применялись сначала в неявной форме в тригонометрич. таблицах (в форме целых чисел, выражающих длины линий синуса, тангенса и т. д. при радиусе, принятом за 10⁵). Впервые (1427) подробно описал систему десятичных дробей и правила действий над ними аль-Каши. Запись десятичных дробей, по существу совпадающая с современной, встречается в соч. С. Стевина в 1585 и с этого времени получает повсеместное распространение. К той же эпохе относится изобретение логарифмов в нач. 17 в. Дж. Непером. В начале 18 в. приёмы выполнения и записи вычислений приобретают совр. форму.

В России до нач. 17 в. применялась нумерация, сходная с греческой; хорошо и своеобразно была разработана система устной нумерации, доходившая до 50-го разряда. Из русских арифметич. руководств нач. 18 в. наибольшее значение имела высоко оценённая М. В. Ломоносовым " Арифметика" Л. Ф. Магницкого (1703). В ней содержится следующее определение А.: " Арифметика или числительница, есть художество честное, независтное, и всем удобопонятное, многополезнейшее, и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков, изобретенное, и изложенное ". Наряду с вопросами нумерации, изложением техники вычисления с целыми числами и дробями (в т. ч. и десятичными) и соответствующими задачами в этом руководстве содержатся и элементы алгебры, геометрии и тригонометрии, а также ряд практич. сведений, относящихся к коммерческим расчётам и задачам навигации. Изложение А. приобретает уже более или менее современный вид у Л. Эйлера и его учеников.