Примеры решения задач. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы вынуть диэлектрик, расположенный между обкладками плоского конденсатора

Задача 7.

Найти работу, которую нужно затратить, чтобы вынуть диэлектрик, расположенный между обкладками плоского конденсатора, для двух случаев: когда заряд на обкладках является постоянным и равным и когда напряжение между обкладками поддерживается постоянным и равным .

Площадь каждой обкладки конденсатора и расстояние между ними равны соответственно и . Толщина диэлектрика равна , а его диэлектрическая проницаемость .

Решение

Рассмотрим сначала первый случай, когда заряд на обкладках является постоянным. Работа внешних сил по удалению диэлектрика из конденсатора равна взятой с обратным знаком работе электрических сил . Согласно закону сохранения энергии работу электрических сил можно определить как разность между начальной энергией конденсатора и конечной , где и - соответственно начальное (без диэлектрика) и конечное (с диэлектриком) значения напряжения на конденсаторе. Следовательно,

. (53)

Чтобы найти и , воспользуемся известными выражениями для напряженности электрического поля между обкладками плоского конденсатора:

в диэлектрике,

вне диэлектрика, (54)

где - поверхностная плотность заряда. Подставляя данные выражения в формулу для получим

, (55)

где направление оси выбирается ортогональным плоскости обкладок, получим

, (56)

, (57)

и как следствие

. (58)

Рассмотрим теперь второй случай, когда напряжение на обкладках поддерживается постоянным (например, за счет подключенного к конденсатору внешнего источника питания). Как и в предыдущем случае, работа по удалению диэлектрика из конденсатора будет равна взятой с обратным знаком работе электрических сил .Однако последняя в данном случае будет определяться иначе:

, (59)

где - начальная энергия конденсатора, - конечная, - работа по переносу заряда от источника питания, а и - соответственно начальный и конечный заряд на конденсаторе.

Следовательно,

. (60)

Определяя заряды и из выражения для , которые по аналогии с предыдущим случаем можно записать в виде

, (61)

, (62)

где и , получим

; (63)

, (64)

и как следствие

. (65)

Задача 8.

Два далеко расположенных металлических шарика, первый с зарядом и радиусом , а второй с потенциалом и радиусом , соединяют проволокой, емкостью которой можно пренебречь. Найти а) энергию и каждого шара до их соединения, б) энергию , которая выделяется в процессе установления равновесия после соединения шариков.