Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Индивидуальное задание по решению нелинейных уравнений
|
|
Найти корни уравнений с использованием встроенной функции root пакета MathCAD и реализовать алгоритм решения нелинейного уравнения методом:
· деления отрезка пополам (первое уравнение)
· хорд (второе уравнение)
· касательных (третье уравнение)
Для реализации алгоритма решения нелинейного уравнения 3 методами взять любой из корней уравнения, выбрать отрезок локализации длиной l=0.6, содержащий только один корень (использовать график функции) и выполнить не менее 4 итераций по приближению к корню уравнения. Полученные результаты сопоставить с решением, полученным с использованием функции root.
2.2. Нахождение корней уравнений с использованием встроенной функции root пакета MathCAD.
Чтобы найти корень уравнения, необходимо задать начальное значение неизвестной и затем использовать функцию root, формата root (выражение, имя переменной).
Для того, чтобы найти все корни уравнения, необходимо локализовать (отделить) отрезки, содержащие по одному корню уравнения. Эту операцию удобно выполнить графически, а затем с помощью функции root найти все корни, указав начальные приближения в соответствии с локализованными отрезками.
Например, при нахождении корней уравнения для приведенного ниже графика можно указать в качестве начальных приближений значения переменной X=-0.7 и X=1.1. А функция root найдет ближайшие к начальным приближениям значения корней с заданной точностью.
Рис 2.1
2. 3. Метод деления отрезка пополам
Метод является простейшим и надежным алгоритмом уточнения корня на отрезке [ab].
Пусть задана функция f(x), необходимо решить уравнение f(x)=0. Функция f(x) непрерывна на отрезке [ab] и f(a)*f(b) < 0.
Для нахождения корня отрезок [ab] делим пополам 
.
Рис 2.2
Если 
, то 
является корнем уравнения.
Если 
, то выбираем тот отрезок [aс] или [сb] на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки.
Новый уменьшенный отрезок (например [сb]) снова делим пополам и т.д.
В результате на каком-то этапе получаем либо точный корень, либо последовательное приближение к корню.
2.4. Метод хорд
Постановка задачи
Имеем нелинейное уравнение F(x) = 0, где функция F(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и F(a) * F(b) < 0. Предположим, что внутри отрезка [a, b]имеется только один корень уравнения, т.е. F(x) монотонна и производная на отрезке больше (или меньше) 0 F'(x) > 0.
Рис 2.3
Для нахождения корня заменим график функции F(x) на отрезке [a, b] хордой, проходящей через точки [a, f(a)], [b, f(b)].
Пусть точка c есть точка пересечения хорды [a, f(a)], [b, f(b)] и оси X. Точка c и есть первое приближение к корню уравнения.
Пусть f(c) * f(b) < 0. Затем проводим хорду [c, f(c)], [b, f(b)] и т.д. Но это графическое решение, необходимо получить математическую формулу.
Математическая формула
Уравнение прямой, проходящей через две точки [a, f(a)], [b, f(b)].
 | |||
 |
Точка пересечения хорды [a, f(a)], [b, f(b)] с осью X есть
 |
Эта и есть расчетная формула в методе хорд. Далее применяем этот метод к тому из отрезков [a, c] or [c, b], на концах которой функция принимает разный знак и получаем второе приближение и т.д.
2.5. Метод касательных
Постановка задачи
Имеем нелинейное уравнение F(x) = 0, где функция F(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и F(a) * F(b) < 0. Предположим, что внутри отрезка [a, b]имеется только один корень уравнения, т.е. F(x) монотонна и производная на отрезке больше (или меньше) 0 F'(x) > 0.
Уравнение касательной в точке имеет вид
 |
При пересечении оси X Y = 0
 |
Выражая из формулы xn+1, получим расчетную формулу
 | |||
 |
Рис 2.4
Преимущества метода – быстрая сходимость
Недостаток – требует вычисления производной.