Указания к задаче 3. Задача 3 относится к геометрии эвольвентного зацепления

Задача 3 относится к геометрии эвольвентного зацепления. Изучите раздел «синтез зубчатых механизмов» [1, с. 179…195, 2, с. 416…460, 5, с. 25…54].

Зубчатые колёса изготавливают в основном методом обката (огибания). При этом инструмент в виде зубчатого колеса или зубчатой рейки катится по производимому колесу Инструмент первого типа называется далее производящим колесом (ПК), инструмент второго типа – производящей рейкой (ПР). Чтобы изготовить эвольвентное колесо, ПК должно быть тоже эвольвентным (с эвольвентным профилем зубьев), а ПР должна быть прямобочной (с прямолинейным профилем зубьев). Последнее объясняется тем, что при увеличении числа зубьев колеса до бесконечности, эвольвента превращается в прямую. Таким образом, прямобочная рейка – это частный случай эвольвентного колеса. Конфигурация и параметры ПР стандартизованы (рис. 5). На ПР имеется базовая линия, которая называется делительной прямой (ДП). На ней толщина зуба и ширина впадины одинаковые.

В половине вариантов третьей задачи рассматривается геометрия зацепления производящей рейки с производимым колесом. Это зацепление называется станочным.

Пусть требуется изготовить зубчатое колесо с числом зубьев z производящей рейкой с модулем т. Чтобы получить заданное z, необходимо определить соотношение скоростей ω и v производимого колеса и производящей рейки (рис. 6). Очевидно, что на производимом колесе должно «отпечататься» целое число зубьев и, следовательно, целое число стандартных шагов р. На каждой окружности производимого колеса, шаг имеет свою величину: чем больше радиус этой окружности, тем больше шаг. Из всех этих окружностей имеется лишь одна, на которой шаг р «отпечатался» с производящей рейки без искажения. Эта окружность называется делительной. Записывая её длину через шаг L = рz (р = π т)и через радиус L = 2π r, и приравнивая друг к другу правые части полученных выражений, получают формулу определения радиуса r = mz/2. Скопировать шаг р на делительную окружность можно единственным способом – прокатить по ней без скольжения делительную прямую рейки (рис. 6, а) или любую другую прямую, параллельную ДП рейки (шаг по этой прямой тоже равен р) (рис. 6, б, в). Линии взаимного обката называются центроидами. Центроида Ц₂ называется начальной прямой (НП). Точка касания Р центроид зацепления называется полюсом зацепления.

При взаимном обкатывании скорости точек, лежащих на делительной окружности, равны скорости рейки. Отсюда , и по скорости ω можно вычислить скорость v, требуемую для получения заданного z, что и требуется.

На рис. 6 производящая рейка изображена без скруглённой части зуба. Это сделано потому, что скруглённая часть не участвует в образовании эвольвенты. Через полюс Р проходит линия зацепления PN. Она является общей нормалью к сопряжённым профилям в точке их касания K (профиль зуба производимого колеса на рисунке не показан). Как отмечено выше, профиль зуба производящей рейки прямолинейный, поэтому нормаль к профилю превращается в перпендикуляр к нему. Линия зацепления одновременно является касательной к основной окружности радиуса r_b.

Как видно из рис. 6, различные положения ПР относительно начальной прямой определяются смещением X = xm, где x – коэффициент смещения. Смещение вверх считается положительным (x> 0), а смещение вниз – отрицательным (x< 0). Необходимо ещё раз отметить, что во всех трёх вариантах делительная и основная окружности остаются неизменными и, следовательно, профилируется одна и та же эвольвента. Только для профиля зуба колеса используются различные её участки (рис. 7).

Рис. 7

Таким образом, при заданном числе зубьев и модуле производимого колеса варьированием коэффициента смещения x можно в определённых пределах менять как форму зуба, так и радиальные размеры зубчатого колеса.

В некоторых вариантах задачи 3 предлагается достроить картину двух эвольвентных колёс с заданным профилем зубьев. Построив общую нормаль в точке касания сопряжённых профилей, находят полюс зацепления как точку пересечения этой нормали с линией центров. Через полюс зацепления проводят начальные окружности. Эти окружности являются центроидами и, следовательно, катятся друг по другу без скольжения, а отношение их радиусов есть передаточное отношение зацепления. Общая нормаль касается основных окружностей. На этом основании строят основные окружности. Для эвольвентного зацепления общая нормаль является линией зацепления (траекторией абсолютного движения точки касания зубьев). Линия зацепления ограничена точками касания общей нормали с основными окружностями. Фактически зубья контактируют на меньшем участке линии зацепления, называемом активной частью линии зацепления. Границами активной части являются точки пересечения линии зацепления с окружностями вершин зубьев.

Угол зацепления a_w – это угол между линией зацепления и перпендикуляром, восстановленном к линии центров в полюсе зацепления. В зависимости от того, с каким смещением изготовлены зубчатые колёса (см. рис. 7), возможны три варианта: a_w< 20^o, a_w= 20^o, a_w> 20^o. Если в зацеплении находятся колёса, изготовленные с нулевым смещением или зацепление является равносмещённым (x ₁=– x ₂), то начальные окружности совпадают с делительными.