Представление дробных чисел в ЭВМ

В ЭВМ используется два вида представления чисел: с фиксированной точкой или естественная форма и с плавающей точкой или нормальная форма. Точка определяет границу раздела целой и дробной частей числа. Любая программа в ЭВМ реализуется в виде простых операций, выполняемых центральным процессором (ЦП). Одной из важнейших характеристик любого процессора является его разрядность, т.е. количество разрядов, используемых для представления чисел. Эта величина в силу определенных причин ограничена[4]. При использовании формы с фиксированной точкой для изображения некоторого числа, точка имеет строго определенное место для всех чисел.

Пример 1.9 Естественная форма десятичного числа

В ЭВМ у двоичных чисел с фиксированной точкой для точки выделяют место либо в начале (дробное число), либо в конце (целое число). Для изображения знака числа отводится специальный знаковый разряд в начале числа, в который записывает 1, если число отрицательное и 0, если число положительное.

Другой формой представления чисел в ЭВМ является нормальная форма (числа с плавающей точкой). Для представления чисел в форме с плавающей точкой в ЭВМ используется две группы цифр - мантисса M и порядок P[5]. В общем виде это представление может быть выражено, как: , где С – представляемое число, а N – основание системы счисления.

В разных ЭВМ применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой. Для примера рассмотрим внутреннее представление вещественного числа в 4-х байтовой ячейке памяти.

В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие числа мантиссы.

Пример 1.10 Представление десятичных чисел с плавающей точкой

Числа, указанные в примере 2.5 могут быть представлены в следующем виде.

Таблица 3 Внутреннее представление вещественного числа в 4-х байтовой ячейке

В старшем бите 1-го байта хранится знак числа: 0 означает плюс, 1 минус. Оставшиеся 7 бит байта содержат машинный порядок. В следующих трёх байтах хранятся значащие цифры мантиссы (24 разряда).

Машинный порядок в диапазоне от 0000000 до 1111111 (т.е. от 0 до 127 десятичной системе счисления). Всего 128 значений. Порядок может быть как положительным, так и отрицательным. Разделим 128 значений поровну от -64 до 63.

Машинный порядок смещён относительно математического и имеет только положительное значение. Смещение выражается формулой: М_р=р+64. В двоичной системе счисления: М_р2=р₂+100 0000₂.

Алгоритм записи внутреннего представления числа:

1. Переводим модуль данного числа в двоичную систему счисления с 24-мя значащими числами.
2. Нормализуем двоичное число (первый разряд мантиссы после запятой – значащий).
3. Находим машинный порядок в 2-й системе счисления.
4. Учитывая знак числа записываем его представление в 4-х байтовом машинном слове.