Теоретический материал

Рассмотрим некоторые признаки параллельности прямой и плоскости.

1. Теорема. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости, то эта прямая и плоскость параллельны.

Доказательство. Пусть прямая a, не лежащая в данной плоскости , параллельна прямой b, лежащей в плоскости (рис. 1). Докажем, что . Применим метод от противного. Допустим, что это не так. Тогда прямая a пересекает плоскость , а значит по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также пересекает плоскость . Но это невозможно, так как прямая b лежит в плоскости . Итак, прямая a не пересекает плоскость , поэтому она параллельна этой плоскости. Теорема доказана.

2. Теорема. Если две плоскости параллельны, то любая прямая, лежащая в одной из этих плоскостей, параллельна другой плоскости.

Доказательство. Пусть плоскости и параллельны, прямая m лежит в плоскости (рис. 2). Докажем, что прямая m параллельна плоскости .

Доказательство проведём методом от противного. Предположим, что это не так, то есть прямая m не параллельна плоскости . Тогда прямая m пересекает плоскость или лежит в плоскости , следовательно, прямая m и плоскость имеют хотя бы одну общую точку. Обозначим эту общую точку буквой M. , так как , то . Получили, что и , следовательно, плоскости и имеют общую точку M, что противоречит условию, значит наше предположение неверно и прямая m параллельна плоскости . Теорема доказана.

3. Теорема. Если плоскость и прямая, не лежащая в ней, перпендикулярны одной и той же прямой, то эти прямая и плоскость параллельны.

Доказательство. Пусть прямая a перпендикулярна плоскости и перпендикулярна прямой b, не лежащей в этой плоскости (рис. 3). Докажем, что .

Через точку A – точку пересечения прямой a и плоскости проводим прямую m параллельную прямой b. по свойству параллельных прямых, ( по построению и по условию). Докажем, что прямая m лежит в плоскости . Предположим, что это не так и прямая m пересекает плоскость в точке A. Рассмотрим в плоскости прямую m ₁, проходящую через точку A. Так как , то по определению прямой перпендикулярной плоскости . Получили, что и , то есть через точку A проходят две прямые m и m ₁ перпендикулярные прямой a, что невозможно. Значит наше предположение неверно и прямая m лежит в плоскости .

и , следовательно, по первому признаку параллельности прямой и плоскости . Теорема доказана.

Если a и b скрещиваются, то достаточно через любую точку прямой a провести прямую b ₁ параллельную прямой b и воспользоваться представленным выше доказательством.

4. Теорема. Если плоскость и прямая, не лежащая в ней, перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

Доказательство. Дано прямая a и плоскость , причём и (рис. 4). Докажем, что .

Обозначим линию пересечения двух перпендикулярных плоскостей и буквой b. В плоскости возьмём точку A и проведём через точку A прямую a ₁, перпендикулярную прямой b. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости . Так как по условию и , то по признаку параллельности прямых .Тогда по признаку параллельности прямой и плоскости, так как . Теорема доказана.

5. Теорема. Если две прямые параллельны и одна из них параллельна плоскости, то и другая прямая параллельна этой плоскости.

Доказательство. Пусть прямая a параллельна прямой b и прямая b параллельна плоскости , причём прямые a и b не лежат в плоскости (так как нас интересует именно этот случай взаимного расположения данных прямых и плоскости) (рис. 5). Докажем, что прямая a параллельна плоскости .

Доказательство проведём методом от противного. Предположим, что это не так и прямая a не параллельна плоскости , следовательно, прямая a пересекает плоскость . Тогда по свойству параллельных прямых (стр. 11 учебника Геометрия 10-11. Л.С. Атанасяна [4]) прямая b так же пересекает плоскость ( по условию и прямая a пересекает плоскость по предположению), что противоречит условию, так как . Значит наше предположение неверно и прямая a параллельна плоскости . Теорема доказана.

6. Теорема. Если прямая параллельна линии пересечения плоскостей и не принадлежит ни одной из них, то она параллельна этим плоскостям.

Доказательство. Пусть прямая a – линия пересечения плоскостей и . Прямая b параллельна прямой a (рис. 6). Докажем, что прямая a параллельна плоскостям и .

Так как прямая a – линия пересечения плоскостей и , то и по условию, следовательно, по первому признаку параллельности прямой и плоскости . Аналогично . Теорема доказана.

Ситуации, которые необходимо увидеть и разрешить с помощью признаков параллельности прямой и плоскости прямых:

А₁: найти в данной плоскости прямую, параллельную данной прямой;

А₂: найти плоскость, которая содержит данную прямую и параллельна данной плоскости;

А₃: найти прямую, которая будет перпендикулярна данной прямой и данной плоскости;

А₄: найти плоскость, которая будет перпендикулярна данной прямой и данной плоскости;

А₅: найти прямую, которая будет параллельна данной прямой и данной плоскости.

Таблица 1