Этап IV. Включение нового способа действия в систему знаний

Задача 1. DABC – тетраэдр. M и N точки пересечения медиан граней ABD и ABC соответственно. Определить взаимное расположение прямой MN и плоскости ADC, прямой MN и плоскости BCD (рис. 7).

Решение. С целью определения взаимного расположения прямой MN и плоскости ADC воспользуемся выделенными ситуациями (на стр. 139). Рассмотрим ситуацию (А ₁). Для этого в плоскости ADC найдем прямую параллельную MN. Рассмотрим медианы DF и CF граней ABD и ABC соответственно (F – общая точка, середина отрезка AB). DF и CF определяют плоскость DFC, в которой лежат прямые MN и CD. По свойству точки пересечения медиан FM: MD = 1: 2; FN: NC = 1: 2. Следовательно, ~ ( – общий, FM: FD = FN: FC). Тогда = – соответственные углы при пересечении MN и CD секущей FC.

Откуда следует . Так как CD лежит в плоскости ACD, то по первому признаку параллельности прямой и плоскости . CD также лежит в плоскости BCD .

В теме «Параллельность прямой и плоскости» рассматриваются задачи не только на доказательство параллельности прямой и плоскости, но и на построение сечения многогранника плоскостью, параллельной данной прямой.

Задача 2. Точки M, P, K – середины ребер AB, DB, DC тетраэдра DABC. Построить сечение, проходящее через точку M параллельно AK и CP (рис 122).

Построение. Для построения сечения параллельного какой-либо прямой, необходимо, чтобы плоскость сечения проходила через прямую параллельную данной прямой. Следовательно, для решения данной задачи необходимо провести две пересекающиеся прямые соответственно параллельные AK и CP, одна из которых должна проходить через точку M.

Эти две прямые и определят искомую секущую плоскость (для построения прямой, проходящей через данную точку и параллельно данной прямой, воспользуемся алгоритмом, представленным на стр. 108).

Прямая AK и точка M лежат в плоскости AKB. Рассмотрим треугольник AKB. M – середина AB, следовательно прямая параллельная стороне AK треугольника AKB и проходящая через M будет средней линией треугольника AKB.

, где N – середина KB. Точка N, принадлежащая сечению, и прямая CP лежат в плоскости CBD. Через точку N проводим прямую EF параллельную CP. Точка E лежит на ребре CB, точка F – на ребре DB. Итак, MN и EF определяют секущую плоскость. MEF – искомое сечение.

Доказательство. Чтобы доказать, что MEF – искомое сечение, необходимо доказать, что точка М принадлежит плоскости MEF и и . Первое очевидно, а для доказательства, что воспользуемся предложенным алгоритмом. Рассмотрим ситуацию А₁. В плоскости MEF есть прямая (по построению). Следовательно по 1 признаку параллельности прямой и плоскости . Остальные ситуации алгоритма проверять не будем. Установлен нужный факт. По 1 признаку параллельности прямой и плоскости . Действительно MEF – искомое сечение.

Если нужно построить сечение, проходящее через какую-то прямую, параллельно другой прямой, то чтобы свести задачу к разобранной выше ситуации необходимо на этой прямой взять наиболее «удобную» точку и через эту точку построить прямую, принадлежащую сечению.

После решение задачи вам предлагается ещё раз просмотреть алгоритм, предложенный выше, теоретический материал и ответить на следующие вопросы:

1. В процессе решения первой задачи использовалась ситуация A ₁. Обоснуйте рассмотрение данной ситуации в задаче.

2. Преобразуйте предложенные ситуации для установления факта параллельности прямой и плоскости так, чтобы каждой ситуации ставился в соответствие конкретный признак параллельности прямой и плоскости.

Ответы на вопросы вы найдёте в разделе «Полезные советы» на стр. 208.