Распространение тепла в среде. Вывод уравнения теплопроводности.

Распространение тепла в среде. Уравнение теплопроводности.

Решение уравнения теплопроводности для стержня.

Моделирование процесса распространения тепла в стержне.

Распространение тепла в среде. Вывод уравнения теплопроводности.

Рассмотрим некоторый малый объем среды . Каждая точка этого объема описывается тремя пространственными координатами (рис. 1).

Рисунок 1. Выделенный объем среды

Пусть температура в каждой точке объема описывается функцией (зависит от координат и времени). Каждая точка объема служит источником тепловой энергии. Будем описывать интенсивность (мощность) источников тепла функцией - т.е. каждая точка среды излучает/поглощает тепло с интенсивностью, зависящей от координат и времени.

Чтобы оценить суммарную мощность всех точек объема (иначе – полную тепловую мощность объема) в любой момент времени необходимо взять интеграл от функции по все трем координатам (всему объему):

(здесь - малый элемент объема).

Согласно первому закону термодинамики, изменение энергии системы равно количеству теплоты сообщенной системе (без совершения работы): .

Изменение энергии связано с мощностью соотношением . Отсюда . Тем самым, полное количество тепла, выделившееся в объеме за счет действия источников тепла с суммарной мощностью за промежуток времени определиться следующим образом:

(1)

Выделившееся тепло идет на нагрев объема (повышение его температуры) и на теплопередачу (обмен с теплом с внешней по отношению к объему средой).

1.1 Уравнение процесса нагрева

Уравнение для количества теплоты при нагревании/охлаждении каждой точки объема записывается следующим образом:

(2)

где - удельная теплоемкость, - масса - изменение температуры в каждой точке объема.

Данное соотношение необходимо рассмотреть для каждой точки объема, характеризующейся своей удельной теплоемкостью и массой. Примем, что удельная теплоемкость во всех точек одинакова, а вместо массы будем использовать зависимость , где - удельная плотность, также одинаковая для всех точек объема.

Теплота участвующая в процессе нагрева идет на повышение температуры каждой точки объема – т.е. происходит изменение функции :

- в начальный момент времени температура равна

- через промежуток времени температура станет равной

Приращение температур определится как . Отсюда выражение (2) запишется в следующем виде:

Соответственно для всего объема:

.

Переходя к дифференциальным величинам, предел отношения приращения температур ко времени запишем как частную производную . Отсюда и окончательно:

(3)

1.2 Уравнение процесса теплопередачи

Теплопередача происходит на границе объема – т.е. сквозь поверхности куба. Уравнение для теплопередачи составляется на основе закона Фурье:

(4)

где - коэффициент теплопроводности, - вектор наискорейшего возрастания температуры, - вектор плотности теплового потока. Знак минус в этом уравнении означает, что направление вектора противоположно градиенту температуры - т.е. в сторону наибольшего убывания температуры.

Т.к. тепловой поток – это количество теплоты в единицу времени , а плотность теплового потока – это тепловой поток, отнесенный к единице поверхности , то соотношение (4) записанное относительно количества теплоты будет выглядеть следующим образом:

Отсюда полное количество теплоты на теплопередачу, передаваемое через всю поверхность объема определиться как:

(5)

1.3 Балансовое уравнение

Объединяя уравнения (1), (3) и (5) получим следующее балансовое уравнение:

(6)

Это уравнение говорит о следующем: источники тепла с интенсивностью будут создавать тепло по всему объему , которое будет тратиться на нагревание каждой точки тела (со скоростью нагрева зависящей, в том числе, от удельной теплоемкости и плотности в точке) и на передачу тепла через поверхность объема - по направлению наибольшего падения температуры. Верно и обратное суждение – входящий через поверхность поток тепла будет идти на нагрев объема и на изменение его внутренней энергии.

В уравнении (6) интегралы берутся по объему и площади, поэтому переменную можно исключить из интегралов, что дает следующее соотношение:

Переменную можно сократить, что означает, что данное соотношение остается справедливым для любого промежутка времени:

(7)

В уравнении (7) два интеграла зависят от объема и один от площади. Согласно теореме Остроградского – Гаусса можно перейти от интеграла по поверхности к интегралу по объему: в результате чего, получим:

Используя соотношение , где - оператор Лапласа (лапласиан) в декартовых координатах, получим:

Т.к. интеграл во всех слагаемых берется по объему:

В силу произвольности объема, интеграл будет равен нулю только, если будет равно нулю подынтегральное выражение:

и окончательно

(8)

где , .

Уравнение (8) называются уравнением теплопроводности. Его можно трактовать следующим образом: изменение температуры в каждой точки среды со временем определяется распределением температуры в пространстве и действием источников энергии в каждой точке.

В краткой записи уравнение теплопроводности обычно записывают следующим образом:

(9)

1.4 Частные случаи уравнения теплопроводности.

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения теплопроводности:

1. Распространение тепла без тепловыделения, когда в рассматриваемой области отсутствуют источники тепла, т.е. при . Уравнение теплопроводности в этом случае будет записываться в следующем (полном и сокращенном) виде:

(10)

2. Распространение тепла при установившемся потоке тепла, когда изменения температуры по времени не происходит, т.е. - переходный процесс прекращается и рассматривается установившийся (стационарный) процесс:

(11)

Данное уравнение называется уравнением Пуассона.

3. Распространение тепла при установившемся потоке тепла и без тепловыделения, т.е. при и :

(12)

Данное уравнение называется уравнением Лапласа.