![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Решение задачи распространения тепла в ограниченном стержне. Метод разделения Фурье.
Решение задачи означает нахождение конкретного вида (частного) функции Для решения поставленной задачи воспользуемся методом разделения Фурье. Алгоритм решения по этому методу для данного примера следующий: - представление функции - нахождение решений функций - объединение решений функций - нахождение искомого частного решения исходной функции
2.3.1 Преобразование исходной функции Преобразуем функцию
Поскольку под знаком производной стоят функции от одного аргумента (по которому и берется производная), то частные производные обратятся в обыкновенные:
Это уравнение в разделенных переменных, которое можно записать в виде:
Так как правая и левая части этого уравнения зависят от разных переменных, то они равны только в том случае, если являются константой, т.е. при:
2.3.2 Поиск решений функции
Будем искать решение уравнения
Получим обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение. Для его решения необходимы краевые условия, которые наследуются из краевых условий исходной задачи:
и
В итоге пришли к тому, что нам необходимо решить систему:
Данная система представляет собой т.н. задачу Штурма-Лиувилля, связанную с нахождением общего решения дифференциального уравнения системы с учетом всех возможных значений параметра
Можно показать, что общее решение данного уравнения запишется в виде:
где
где
зависящему от (в т.ч. с константой
2.3.2 Поиск решений функции
Будем искать решение уравнения
Получим обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение. Поскольку значения параметра
где
2.3.3 Объединение решений
Подставляя полученные решения в формулу
Данное уравнение отражает множественность общих решений дифференциального уравнения в частных производных. Доказано, что линейная комбинация общих решений также является общим решением, поэтому «наиболее полное» общее решение исходной задачи представляется зависимостью в виде ряда:
2.3.4 Нахождение частного решения
Для нахождения частного решения (а с ним и решения задачи) необходимо воспользоваться начальным условием
Для любых
а остальные коэффициенты будут равны нулю:
Итоговое частное решение уравнения (задачи) запишется так:
Для проверки найденного решения его необходимо подставить в исходное уравнение:
получаем верное тождество.
|