Основные теоретические положения. Основные теоретические положения

ПАССИВНЫЕ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКИ И ФИЛЬТРЫ

Четырёхполюсники

Основные теоретические положения

Четырёхполюсник (4П)– это часть электрической цепи, у которой выделены четыре зажима (полюса) для подключения к остальной схеме.

В этой главе рассматриваются линейные пассивные четырёхполюс-ники, имеющие пару входных и пару выходных зажимов и работающие в установившемся режиме при гармоническом воздействии или в цепях постоянного тока (частный случай гармонических).

Существуют 3 режима работы пассивных четырёхполюсников (рис. 5.1):

1. Режим прямой передачи энергии: источник подключается к зажимам 1-1', а приёмник – 2-2'. Режим характеризуется системой U ₁, U ₂, I ₁, I ₂.

2. Режим обратной передачи энергии: вход – 2-2', выход – 1-1'. Режим характеризуется системой U ₂, U ₁, I ₂', I ₁'.

3. Режим питания с двух сторон. К зажимам 1-1' и 2-2' подключены источники. Режим характеризуется системой I ₁, U ₁, U ₂, I ₂'.

Четырёхполюсник может быть охарактеризован одним из следующих способов: а) параметрами одной из форм основных уравнений; б) характеристическими параметрами; в) Т- или П-схемой замещения; г) сопротивлениями холостого хода и короткого замыкания. Существуют формулы однозначного эквивалентного перехода от одного способа описания к любому другому.

Два четырёхполюсника считаются эквивалентными, если они имеют одинаковые: а) параметры одной из форм основных уравнений, или б) характеристические параметры, или в) сопротивления схем замещения, или г) параметры холостого хода и короткого замыкания.

Системы основных уравнений. В зависимости от режима питания и представляемого устройства используются 6 форм уравнений, называемых основными уравнениями четырёхполюсника и связывающих величины U ₁, U ₂, I ₁, I ₂: A, B, Z, Y, H, G-формы уравнений.

Для 1 режима используется A-форма уравнений, коэффициенты A ₁₁, A ₁₂, A ₂₁, A ₂₂ (или A, B, C, D)[1] которой есть комплексные числа с различными размерностями:

U ₁ = f(U ₂, I ₂ ), или U ₁ = A ₁₁· U ₂ + A ₁₂· I ₂, или U ₁ = A · U ₂ + В · I ₂,

I ₁ = f(U ₂, I ₂ ); I ₁ = A ₂₁· U ₂ + A ₂₂· I ₂; I ₁ = С · U ₂ + D · I ₂.

Коэффициенты обладают свойством

A · В – С · D = 1 – уравнение связи.

Для режима 2 используется В-форма:

U ₂ = В ₁₁· U ₁ + В ₁₂· I ₁', или U ₂ = D · U ₁ + В · I ₁',

I ₂' = В ₂₁· U ₁ + В ₂₂· I ₁'; I ₂' = С · U ₁ + А · I ₁'.

Остальные формы для третьего режима:

U ₁ = Z ₁₁· I ₁ + Z ₁₂· I ₂', I ₁= Y ₁₁· U ₁ + Y ₁₂· U ₂, U ₁ = Н ₁₁· I ₁ + Н ₁₂· U ₂, I ₁ = G ₁₁· U ₁ + G ₁₂· I ₂',

U ₂ = Z ₂₁· I ₁+ Z ₂₂· I ₂', I ₂' = Y ₂₁· U ₁+ Y ₂₂· U ₂; I ₂' = Н ₂₁· I ₁ + Н ₂₂· U ₂; U ₂= G ₁₁· U ₁ + G ₁₂· I ₂'.

В учебниках приводятся формулы по которым осуществляется переход от коэффициентов одной формы к коэффициентам любой другой формы. Чаще используется А-форма.

Характеристические параметры четырёхполюсника включают:

1. Характеристическое (волновое) сопротивление со стороны входных зажимов: Z _{1 С} = = .

2. Характеристическое (волновое) сопротивление со стороны выходных зажимов: Z _{2 С} = = .

3. Постоянную передачи Г = ln = ln ,

причём Г = a + jb (Г = A + jB, g = a + jb) и

коэффициент затухания (постоянная ослабления) a измеряется в неперах (Нп), а коэффициент фазы (постоянная фазы) b – в рад или град.

Основные уравнения четырёхполюсника с характеристическими параметрами имеют следующую редакцию:

U ₁= × (U ₂× ch Г + Z _{С 2}× I ₂× sh Г) = A × U ₂ + В × I ₂;

I ₁= × ( × sh Г + I ₂× ch Г) = С × U ₂ + D × I ₂,

откуда для прямого питания Z _{1 X} = = , Z _{1 К} = = Z _{1 С} × th Г,

для обратного питания Z _{2 X} = = , Z _{2 К} = = Z _{2 С} × th Г,

th Г = = = . Тогда e ^{2 Г} = = M × e ^jm = e ^{2 а} × e ^{j 2 b}

и а = lnM, b = m.

A ₂₁ = Y _{0 Т}, A ₂₂ = 1 + Z _{2 Т} · Y _{0 Т}, A ₁₁ = 1 + Z _{1 Т} · Y _{0 Т}, A ₁₂ = Z _{1 Т} + Z _{2 Т} + Z _{1 Т} · Z _{2 Т} · Y _{0 Т};

Z _{0 Т} = 1/ A ₂₁, Z _{1 Т} = , Z _{2 Т} = ;

A ₁₂ = Z _{0 П}, A ₁₁ = 1 + Z _{0 П} · Y _{2 П}, A ₂₂ = 1 + Z _{0 П} · Y _{1 П}, A ₂₁ = Y _{1 П} + Y _{2 П} + Z _{0 П} · Y _{1 П} · Y _{2 П};

Z _{0 П} = A ₁₂, Z _{2 П} = , Z _{1 П} = .

Сопротивления прямого холостого хода и короткого замыканияZ _{1 Х} и Z _{1 К} и сопротивления обратного холостого хода и короткого замыкания Z _{2 Х} и Z _{2 К} четырёхполюсника связаны с коэффициентами А-формы следующим образом:

Z _{1 Х} = , Z _{1 К} = , Z _{2 Х} = , Z _{2 К} = .

Отсюда важное соотношение = .

А ₁₁ = или А ₁₁ = ;

А ₁₂ = Z _{2 К} × А ₁₁; А ₂₁ = А ₁₁/ Z _{1 Х} ; А ₂₂ = (Z _{2 Х} / Z _{1 Х} ) × А ₁₁.

Входные сопротивления четырёхполюсника:

1. Со стороны входа

Z _{1 вх} = , где Z ₂ = .

2. Со стороны выхода

Z _{2 вх} = , где Z ₁ = .

У симметричного четырёхполюсника

A ₁₁ = A ₂₂; Z _{1 Х} = Z _{2 Х} ; Z _{1 К} = Z _{2 К} ; Z _{1 С} = Z _{2 С} .

Схемы соединения четырёхполюсников показаны на рис. 5.3:

а) параллельное, при этом матричное уравнение параметров сложного 4П:

[ Y ] = [ Y ' ] + [ Y '' ];

б) последовательное, при этом [ Z ] = [ Z ' ] + [ Z '' ];

в) последовательно-параллельное, [ H ] = [ H ' ] + [ H '' ];

г) параллельно-последовательное, [ G ] = [ G ' ] + [ G '' ];

д) каскадное, [ A ] = [ А ' ] · [ А '' ].

Комплексной передаточной функцией (КПФ) Н(jw) (или W(jw))называется отношение комплексных амплитуд (или действующих значений) электрических величин на выходе и входе четырёхполюсника:

Н(jw) = = Н(w) × е ^jj(w) = B(w) + jM(w).

В электросвязи, телевидении, в теории автоматического управления

четырёхполюсники работают в широком диапазоне частот, поэтому КПФ рассматривают как функции частоты, то есть как частотные характеристики звена или системы. В связи с этим различают:

- Н(jw) – амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ),

- Н(w) = | Н(jw) | – амплитудная частотная характеристика (АЧХ),

- j(w) – фазовая частотная характеристика (ФЧХ),

- B(w) – вещественная частотная характеристика,

- M(w) – мнимая частотная характеристика.

- годограф вектора Н(jw) на комплексной плоскости – диаграмма Найквиста.

Обычно характеристики строят в логарифмическом масштабе, для чего выражение передаточной функции логарифмируют:

lgН(jw) = lg[Н(w) × е ^jj(w)] = lgН(w) + jj(w)lgе.