![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Решение. Искомую передаточную функцию можно рассчитать с помощью основных уравнений с коэффициентами любой формы
Искомую передаточную функцию можно рассчитать с помощью основных уравнений с коэффициентами любой формы, с помощью основных уравнений с характеристическими параметрами. Однако для простых схем четырёхполюсников эту работу проще выполнить с помощью законов Кирхгофа, записав в комплексной форме выражения тока I 1 X и напряжения U 2 X в функции w: U 2 X = I 1 X · W(jw) =
где t = rC = 50·40·10 -6 = 2·10 -3 c – называется постоянной времени рассматриваемого звена (четырёхполюсника) (см. раздел «Переходные процессы в линейных электрических цепях»), а передаточная функция приведённого вида W(jw) = ![]() Диаграмма Найквиста этой передаточной функции приведена на рис. 5.28, б и представляет собой полуокружность радиуса R = ½. Изображающая точка М определяет положение конца вектора W(jw) на комплексной плоскости при фиксированных частотах: при частоте w = 0 координатами точки М являются (1, 0); при частоте w = 0, 5· t -1 = W(jw) = W(w) = эта точка М указана на рис. 5.28, б. Положение точки М 1 соответствует частоте w = t -1 = 500 c -1, а при w = ¥ W(w) = 0, j(w) = -90° = -½ p точка М оказывается в начале координат. Заметим, что при изменении частоты w( 0 … ¥ ) изображающая точка перемещается по часовой стрелке и фазовый угол для схемы с одним накопителем изменяется на 90°. Это является общим свойством диаграмм Найквиста, только фазовый угол при этом будет изменяться до (-n ·½ p), где n – число разнородных накопителей. Амплитудная частотная характеристика W(w) = Вещественная и мнимая частотная характеристики рассчитываются по W(jw) = где B(w) = M(w) = - Заметим, что фазовую частотную характеристику можно также рассчитать как j(w) = arctg Логарифмическая амплитудная частотная характеристика L(w) = 20 lgW(w) = -20 lg Результаты расчёта характеристик передаточной функции сведём в табл. 5.1. Таблица 5.1
В табл. 5.1 фигурной скобкой отмечен диапазон частот, соответству-ющий декаде, у которой отличие частот w составляет в 10 раз, а отличие lg(w) – на единицу. Характеристики W(w), B(w), - M(w), j(w) приведены на рис. 5.29. Логарифмические амплитудные частотные характеристики приведены на рис. 5.30, а (сплошные линии), а их асимптотические характеристики вы-полнены отрезками прямых (штриховые линии). Частота сопряжения прямых линий w 0 = t -1; максимальное отклонение асимптотических ЛАЧХ от факти-ческих составляет 3, 01 дБ, угол наклона прямой составляет 20 дБ/декаду, что обычно обозначается как (-1) (соответственно, при 40 дБ/декаду будет (-2), при 60 дБ/декаду – (-3) и т.д.). ЛФЧХ приведена на рис. 5.30, б.
ЗАДАЧА 5.38. Для Г -схемы четырёхполюсника (рис. 5.31, а) при r = =50 Ом, l = 0, 5 Гн рассчитать частотные характеристики передаточной функции по напряжению в режиме холостого хода. Построить асимптотические логарифмические амплитудную (ЛАЧХ) и фазовую (ЛФЧХ) частотные характеристики. Ответ: W(jw) = Передаточную функцию W(jw) можно представить как произведение двух передаточных функций W(jw) = W 1 (jw) · W 2 (jw). Этому произведению соответствует каскадное соединение двух четырёхполюсников (рис. 5.31, в), для которого W 1 (jw) = jwt – передаточная функция идеального дифферен-цирующего звена, а W 2 (jw) = На рис. 5.32, а приведено построение ЛАЧХ функций W 1 (w), W 2 (w) и результирующей W(w), на рис. 5.32, б приведено построение логарифмиче-ской фазовой частотной характеристики. ЗАДАЧА 5.39. Для Г -образного четырёхполюсника, нагруженного активным сопротивлением rН = 150 Ом (рис. 5.33), рассчитать передаточ-ную функцию по напряжению, если r = 50 Ом, С = 40 мкФ. Ответ: W(jw) =
Построить асимптотические лога-рифмические частотные характеристики передаточной функции по напряжению. Указание. При построении ЛАЧХ и ЛФЧХ представить четырёхполюсник исходной схемы в виде каскадного соединения двух апериодических звеньев с передаточными функциями W 1 (jw) = Ответ: W(jw) =
Определить выходное напряжение четырёхполюсника с обратной связью и без неё. Пояснения к решению: для характеристики условий передачи сигналов с учётом произвольной нагрузки пользуются так называемыми рабочими параметрами, к которым относятся вносимое затухание аВН и коэффициенты передачи по напряжению K U и по току K I, которые ещё называют передаточными функциями четырёхполюсника H(jω). Коэффициенты передачи четырёхполюсника по напряжению без обратной связи K U ¢ и при наличии обратной связи K U ¢ ¢ на основании основных уравнений четырёхполюсника определяются выражениями: K U ¢ = А -коэффициенты четырёхполюсника: А = 1, 2 – j 0, 6, В = 4 – j 52 Ом, С = 0, 01 – j 0, 005 См, D = 0, 7 – j 0, 1. Для четырёхполюсника без обратной связи при напряжении U 1 = 100 В находим коэффициент передачи по напряжению и выходное напряжение: K U ¢ = 0, 286 е j 68, 37°, U 2 = K U ¢ · U 1 = 28, 6 е j 68, 37° В. Коэффициент передачи четырёхполюсника при наличии обратной свя-зи: K U ¢ ¢ = Напряжение на выходе: U 2 = K U ¢ ¢ ∙ U 1 = 29, 2 е j 71, 48° В.
В связи с развитием вычислительной техники использование передаточных функций и характеристик для расчёта реакции цепи по известному воздействию произвольной формы становится актуальным. В задачах 5.42 и 5.43 на примере простейшего четырёхполюсника сделана попытка проиллюстрировать применение передаточных функций. При расчётах интенсивно использовалась математическая система MathCAD. К сожалению, имеются некоторые отличия в обозначении величин, функций и чисел в системе MathCAD от общепринятых математических обозначений. Так, комплексные величины не подчёркиваются, иначе представляются степени числа 10 в ответах, использование индексации символизирует числовой массив. Поэтому при решении задач приведены формулы как в общепринятом виде, так и фрагменты MathCAD-программы. На наш взгляд, отличия непринципиальные и на понимании решения не сказываются. В данном параграфе рассмотрены вопросы получения передаточных характе-ристик и их использования при гармоническом воздействии. Использование характеристик в случае других типов воздействий будет рассмотрено в по-следующих разделах «Цепи несинусоидального тока (при негармонических воздействиях)» и «Переходные процессы в линейных электрических цепях». Различные величины в обобщённой цепи четырёхполюсника, подклю-ченного к источнику с ЭДС Е и внутренним сопротивлением Z 1 и нагружен-ного сопротивлением Z 2, могут быть вычислены через А -параметры: - входное напряжение U 1 = Е (А 11 Z 2+ А 12 ) / Н A; - входной ток I 1 = Е (А 21 Z 2+ А 22 ) / Н A; - выходное напряжение U 2 = Е · А 12/ Н A; - выходной ток I 2 = - Е / Н A. Здесь Н A = А 11· Z 2 + А 22· Z 1 + А 12 + А 21· Z 1· Z 2– вспомогательная частотная характеристика, выраженная через А -параметры четырёхполюсника. Отметим, что последовательно соединённые Е - Z 1 могут быть заменены параллельно соединёнными J - Z 1, то есть воздействие может быть как в виде напряжения Е, так и в виде тока J = Е / Z 1. В этом случае приведенные формулы корректируются соответствующим образом. ЗАДАЧА 5.42. Источник, представленный схемой замещения j(t)-r 1, питает нагрузку r 2 через Г -образный безындукционный фильтр низкой частоты, являющийся пассивным четырёхполюсником (рис. 5.36). Числовые значения: r 1 = 5000 Ом, r 2 = 2000 Ом, r = 1000 Ом, С = 10 мкФ. Вычислить: 1) коэффициенты формы А четырёхполюсника; 2) опреде-лить комплексное передаточное сопротивление канала связи; 3) построить АЧХ и ФЧХ; 4) нарисовать диаграмму Найквиста; 5) пользуясь комплексным передаточным сопротивлением, определить выходное напряжение u 2 для следующих случаев – j(t) = 0, 05 А, j(t) = 0, 05· sin( 100 t + 45° ) А, j(t) = 0, 05· sin( 1000 t – 100° ) А, j(t) = 0, 05· sin( 10000 t + 100° ) А.
|