Решение. При решении задачи 5.1 были определены коэффициенты четырёхполюсника:

При решении задачи 5.1 были определены коэффициенты четырёхполюсника:

А = × е ^{– j 45°}, В = 10 × е ^{– j 45°} Ом, С = 0, 05× е ^{– j 90°} См, D = 1.

Воспользуемся полученными значениями для расчёта характеристи-ческих параметров.

Характеристическое сопротивление со стороны входных зажимов

Z _{1 С} = = = 10 × е ^{j 0°} = 10 Ом,

со стороны выходных зажимов

Z _{2 С} = = = 20× е ^{j 45°} Ом.

Заметим, что извлечение корня из комплексного числа приводит к бесконечно большому количеству ответов.

Характеристические сопротивления имеют другое название: волновые сопротивления той среды, в которой распространяются электромагнитные волны: Z _С = Z _В = = Z_С · е ^jjс, где U _волны, I _волны – комплексы напряжения и тока движущейся волны.

Как известно из курса ТОЭ, для любой среды при положительном моду-

ле Z _С (полное сопротивление) аргумент j_С комплексного числа не может превышать 90°. По этому принципу осуществлён отбор приведенных ранее числовых значений для Z _{1 С} и Z _{2 С} .

Постоянная передачи проходного четырёхполюсника

Г = ln = ln =

= ln .

В результате под знаком натурального логарифма могут находиться 4 числа:

1) 1, 099 – j 1, 099 = 1, 554× е ^{- j 45°}, 2) 0, 455 + j 0, 455 = 0, 64× е ^{j 45°},

3) -0, 455 – j 0, 455 = 0, 64× е ^{– j 135°}, 4) -1, 099 + j 1, 099 = 1, 554× е ^{j 135°}.

Комплексное число в показательной форме записи имеет выражение

M = m × е ^jm.

Так как Г = ln M и Г = a + jb, то a = ln(m) нп и b = m рад. кроме того, коэффициент затухания a > 0 для схемы с потерями, исходя из физического смысла: при движении волны в среде с потерями её энергия уменьшается.

Для чисел п.2 и п.3 расчётов a = ln 0, 64 = -0, 446 < 0, что противоречит физике процесса.

Остаётся единственный ответ a = ln 1, 554 = 0, 441 нп, рассчитанный при логарифмировании чисел п.1 и п.4.

При этом получаем 2 значения коэффициента фазы:

b ₁= -45° = -0, 785 рад < 0, b ₂= 135° = 2, 36 рад > 0.

Отбор единственного значения b (положительного или отрицательного) выполним с помощью векторной диаграммы четырёхполюсника, согласованного с нагрузкой (рис. 5.18).

На векторной диаграмме показаны углы между напряжениями U ₂ и U ₁:

+ b < 0,

между токами I ₂ и I ₁: + b < 0.

U ₁ = · U ₂ е ^Г , I ₁ = · I ₂ е ^Г , а = Z _{2 C}.

Подсчитаем = = -22, 5°, тогда = +22, 5°.

Так как угол между токами + b = ( +22, 5° + b) < 0, то b < 0.

Остаётся один ответ: b = b ₁= -0, 785 рад, а постоянная передачи

Г = a + jb = 0, 441 – j 0, 785.

Напряжение и ток на входе четырёхполюсника при согласованной нагрузке:

U ₁ = · U ₂ е ^Г = ·100 е ^{0, 441}× е ^{- j 45°} = 130, 7× е ^{– j 67, 5°} В,

I ₁ = = = = 9, 24× е ^{– j 67, 5°} А.

ЗАДАЧА 5.17. Определить характеристические параметры четырёхпо-люсника рис. 5.19, а, если r ₁ = r ₂ = 10 Ом, x_L = 20 Ом, x_C = 10 Ом.

Решение

Расчёт выполним с помощью входных сопротивлений четырёхполюсника.

Z _{1 X} = = = 5 + j 5 = 5 × e ^{j 45°} Ом,

Z _{1 К} = , где Z = jx_L + = j 5 + = 5 + j 15 Ом,

тогда Z _{1 К} = = = × e ^{j 26, 56°} Ом.

Z _{2 X} = r ₂ + = 10 + = 15 – j 15 = 15 × e ^{-j 45°} Ом,

Z _{2 К} = r ₂ + = 10 + = 10 – j 20 = 10 × e ^{–j 63, 44°} Ом.

Характеристические сопротивления

Z _{1 С} = = = 7, 26× e ^{j 35, 78°} Ом,

Z _{2 С} = = = 21, 78× e ^{-j 54, 22°} Ом.

Далее th Г = = = 1, 027× e ^{–j 9, 22°} = 1, 013 – j 0, 165,

e ^{2 Г} = e ^{2 а} · e ^{j 2 b} = = = = -12, 17× e ^{j 80, 81°}.

Этот ответ необходимо записать с положительным модулем, так как e ^{2 а} > 0, для чего к аргументу требуется добавить ±180°.

Получаем e ^{2 а} = 12, 17, откуда коэффициент затухания четырёхполюс-ника а = ½ · ln 12, 17 = 1, 25 Нп.

Для определения коэффициента фазы получаем два соотношения

e ^{j 2· b 1} = e ^{j 260, 81°}; e ^{j 2· b 2} = e ^{–j 99, 19°},

из которых получаем b ₁ > 0, b ₂ < 0.

Для определения знака коэффициента фазы построим векторную диаграмму четырёхполюсника при Z ₂ = Z _{2 С} (согласованный режим работы четырёхполюсника) (рис. 5.19, б). При этом основные уравнения четырёх-полюсника приобретают вид: U ₁ = · U ₂ е ^Г , I ₁ = · I ₂ е ^Г .

Выполним вычисления:

= = +45°, а = -45°.

На векторной диаграмме (рис. 5.19, б) угол между векторами токов I ₂ и I ₁ + b > 0, следовательно, b > 0, так как = -45° < 0.

Таким образом, искомая величина b = ½ ·260, 81° = 130, 4° = 2, 276 рад,

а постоянная передачи Г = а + jb = 1, 25 + j 2, 276.

Замечание. При подсчёте постоянной передачи из формулы

e ^{2 Г} = e ^{2 а} · e ^{j 2 b} = = m · e ^{j(m + k ·360° )}

для аргумента комплексного числа получается бесконечное число ответов:

b = ½ · m + k ·180°.

Если схема четырёхполюсника работает при фиксированной частоте, то практическое значение имеет только знак постоянной фазы при условии, что | b | < 180°.

При изменяющихся частотах требуется строить частотные характеристи-

ки электрических устройств, так как в зависимости от числа реактивных элементов схемы четырёхполюсника при изменении частоты w( 0 … ¥ ) возможно изменение b(w) за пределы ±180°. (см. примеры исследования в разделе «Электрические фильтры»).

ЗАДАЧА 5.18. Для симметричного четырёхполюсника по опытам х.х. и к.з. найдено:

Z _X = 27, 63× e ^{+j 26, 17°} Ом, Z _К = 45, 1× e ^{+j 61°} Ом.

Требуется определить характеристические параметры 4х-полюсника.

Ответ: Г = а + jb = 0, 816 + j 1, 13, Z _С = 35, 3× e ^{j 43, 59°} Ом.

ЗАДАЧА 5.19. Четырёхполюсник задачи 5.17 (Z _{1 С} = 7, 26× e ^{j 35, 78°} Ом, Z _{2 С} = 21, 78× e ^{-j 54, 22°} Ом, Г = а + jb = 1, 25 + j 2, 276) нагружен на сопротивление Z ₂= 40 + j 30 Ом. Напряжение на входе U ₁ = 220 В. Используя основные уравнения с характеристическими параметрами, определить I ₁, P ₁, U ₂, I ₂, P ₂.