Непрерывность функции нескольких переменных

Пусть дана функция с областью определения и пусть – предельная точка множества .

Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если

1) ;

2) , т.е. .

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим , и .

Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется равенство

.

Теорема. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке непрерывны и функции , , а если , то и функция .

Определение. Функция , определённая на некотором множестве называется непрерывной на множестве если она непрерывной в каждой точке множества .

Определение. Множество называется областью, если оно:

1) является открытым множеством, т.е. содержит каждую свою точку вместе с некоторой своей -окрестностью; 2) является линейно связным множеством, т.е. для любых двух различных точек существует ломаная, соединяющая и и целиком лежащая в .

Если – область, то множество называют замкнутой областью.

Определение. Говорят, что функция непрерывна в области (или в замкнутой области ), если непрерывна в каждой точке этой области.