Производные и дифференциалы функций

нескольких переменных

Определение. Пусть в некоторой области задана функция . Возьмем произвольную точку из этой области и дадим переменной х приращение . Величина называется частным приращением функции по х.

Рассмотрим отношение:

.

Если существует конечный предел , то он называется частной производной функции по х.

Обозначение:

Аналогично определяется частная производная функции по у:

.

Геометрическим смыслом частной производной (например, ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке к сечению поверхности плоскостью .

2. Полное приращение и полный дифференциал

Определение. Выражение называется полным приращением функции в точке .

Если функция имеет непрерывные частные производные, то

Применяя теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках, получим:

,

где . Находим

.

Так как частные производные непрерывны в точке , то справедливы равенства:

.

Определение. Выражение называется полным приращением функции в точке , где и – бесконечно малые функции при и соответственно.

Определение. Полным дифференциалом функции называется главная, линейная относительно и часть приращения функции в точке :

Для функции произвольного числа переменных имеем:

.

Пример. Найти полный дифференциал функции .

;

.

Пример. Найти полный дифференциал функции

; ;

.