Производная по направлению

Рассмотрим функцию в точках и .

Построим вектор . Углы наклона этого вектора к положительным направлениям координатных осей обозначим соответственно . Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

Расстояние между точками и обозначим через :

.

Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

z

M

M₁

y

x

Предположим, что функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным и . Тогда справедливо равенство:

,

где величины – бесконечно малые при функции.

Из геометрических соображений очевидно:

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

;

.

Величина является скалярной. Она определяет направление вектора . Определение. Предел называется производной функции по направлению вектора в точке с координатами .

Пример. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора : .

Решение. Определяем координаты вектора :

2 .

Находим модуль этого вектора:

= .

Находим частные производные функции в общем виде:

Значения этих величин в точке А равны:

Для нахождения направляющих косинусов вектора проведём преобразования:

=

В качестве вектора примем произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования. Получаем значения направляющих косинусов вектора :

; .

Окончательно находим: - значение производной заданной функции по направлению вектора .