Касательная плоскость и нормаль к поверхности

нормаль

N

касательная плоскость

Пусть и – точки данной поверхности. Проведем прямую . Плоскость, проходящая через точку , называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей и этой плоскостью стремится к нулю, когда точка стремится к точке по поверхности (стремится к нулю расстояние ).

Определение. Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

Если поверхность задана уравнением , где – функция, дифференцируемая в точке , то касательная плоскость в точке существует и определяется уравнением:

.

Уравнение нормали к поверхности в этой точке имеет вид:

.

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных в точке является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки к точке .

Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке . Находим:

;

Уравнение касательной плоскости имеет вид:

Уравнение нормали имеет вид: