Формула полной вероятности

Пусть некоторое событие А может произойти вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности наступления события А при наступлении события : .

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А:

.

Доказательство. Так как события образуют полную группу событий, то событие А можно представить в виде следующей суммы:

.

Так как события несовместны, то события также несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:

.

При этом . Окончательно получаем: Теорема доказана.

Пример. Прибор может работать в нормальном и ненормальном режимах. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, ненормальный - в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0, 1; в ненормальном- 0, 7. Найти полную вероятность выхода прибора из строя за время t.

В данном случае гипотеза - нормальный режим работы прибора, - ненормальный, событие А - выход из строя прибора. По условиям задачи:

По формуле полной вероятности находим искомую вероятность:

Пример. Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью имеет дефект. В цехе три контролёра; изделие осматривает только один контролёр (с одинаковой вероятностью первый, второй или третий). Вероятность обнаружения дефекта (если он имеется) для - го контролёра равна . Если изделие не было забраковано в цехе, оно попадёт в ОТК завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью . Определить вероятность следующих событий:

А - изделие будет забраковано;

В - изделие будет забраковано в цехе;

С - изделие будет забраковано в ОТК завода.

Найдём связь между этими событиями. Событие А, очевидно, произойдёт, если произойдёт событие В или С, причём совместно события В и С произойти не могут .

По теореме сложения вероятностей:

Изделие будет забраковано в цехе, т.е. произойдёт событие В при наличии следующих гипотез:

- дефект имеется и его обнаруживает первый контролёр, - то же, - второй контролёр, - то же, - третий; Следовательно, по формуле полной вероятности:

Для того чтобы изделие было забраковано ОТК завода (произошло событие), необходимо, чтобы это изделие имело дефект, и дефект не был обнаружен в цехе. Поэтому по теореме умножения вероятностей

Пример 4. Имеются две партии деталей - в одной 10, а в другой 12 шт., причем в каждой из партий - по одной бракованной. Из первой партии во вторую перекладывают одну деталь. Определить вероятность извлечения из каждой партии бракованной детали до перекладывания и после перекладывания.

Пусть событие А - извлечение бракованной детали из первой партии, В - из второй до перекладывания, C и D - те же события после перекладывания. Используя классическое определение вероятности находим: .

При перекладывании имеются две возможности: - была переложена бракованная деталь, - не бракованная. Тогда (так как после перекладывания в первой партии осталось 9 деталей и не осталось бракованных); (осталось 9 деталей, среди которых одна бракованная). (так как во второй партии после перекладывания бракованной детали оказалось 13 деталей, из которых 2 бракованных). Аналогично, находим Тогда по формулам полной вероятности получим

Вероятности событий А и С одинаковые, т.е. вероятность извлечь бракованную деталь после перекладывания равна такой же вероятности до перекладывания. Это не случайное совпадение, его можно вывести из классических соображений. Действительно, после извлечения первой детали никакой новой информации не получили, и о второй извлекаемой детали известно лишь, что это одна из 10 деталей, первоначально имевшихся в урне, и из 10 возможностей для этой детали имеется одна, что она бракованная. Поэтому