Свойства дисперсии

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:

.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

.

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2.

Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и вероятность непоявления события в каждом испытании:

.

Пример. Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Пусть Х – число изделий первого сорта в данной выборке. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Выбор каждого из 1000 изделий можно считать независимым испытанием, в котором вероятность появления изделия первого сорта одинакова и равна р = 0, 96.

Таким образом, закон распределения может считаться биноминальным.

Пример. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления этого события в каждом испытании равны и известно, что

Т.к. случайная величина Х распределена по биноминальному закону, то

Пример. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0, 63.

По формуле дисперсии биноминального закона получаем:

;

Пример. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно ; ; . Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.

Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности. Примем .

1) Не отказал ни один прибор:

2) Отказал один из приборов:

0, 302.

3) Отказали два прибора:

4) Отказали три прибора:

5) Отказали все приборы:

Получаем закон распределения:

	0, 084	0, 302	0, 38	0, 198	0, 036

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

.

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

.