Свойства функции распределения

1) значения функции распределения принадлежат отрезку :

.

2) – неубывающая функция:

при .

3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:

.

4) На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице:

5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.

Таким образом, не имеет смысла говорить о каком – либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой – либо интервал, что соответствует большинству практических задач.

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется функция – первая производная от её функции распределения :

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна на всей оси , а плотность распределения существует везде, за исключением может быть, конечного числа точек.

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:

.

Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения, записанном выше.

Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения и прямыми и .

Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле: