Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, плотность вероятности которой определяется по формуле:

.

где - математическое ожидание, а - среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Нормальный закон распределения называется также законом Гаусса.

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Найдем функцию распределения :

.

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

3) Ось является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4) Найдем экстремум функции:

Т.к. при при и при , то в точке функция имеет максимум, равный .

5) Функция является симметричной относительно прямой , т.к. разность

входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

При и вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.

В этих точках значение функции равно .

Построим графики при и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения и :

Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается.

Если , то график смещается в сторону положительного направления оси , если – в сторону отрицательного направления оси

При и кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой имеет вид