Метод построения линий тока способом Бернадского

Первоначальный вариант решения плановой задачи, изложенный Бернадским в работе «Опыт теории и практики расчета прудов-холодильников», был затем им усовершенствован, что частично нашло отражение в работе «Теория турбулентного потока и ее применение к построению течений в открытых водоемах».

Окончательный вариант способа расчета содержится в статье Ю.Ф. Прокофьевой и И.В. Новоторцева «Основы теоретического метода построения транзитных потоков»[6].

Пусть нам дан план участка речного русла в изобатах, причем конфигурация берега такова, что движение потока можно считать безотрывным (рисунок 1.1). Припишем одной из линий урезов, например левой, значение плановой функции тока, равное нулю (ψ =0). Зададимся затем некоторым приращением функции тока

, (1.3)

где Q – полный расход воды в реке; m – некоторое не очень малое целое число.

Задачей расчета будем считать построение линий тока, отвечающих значениям функции ψ, взятым через равные интервалы ∆ ψ, и построение линий криволинейных поперечников, ортогональных линиям тока. Область, заключенную между двумя смежными линиями тока, будем по-прежнему называть плановой струей, область, заключенную между двумя смежными поперечниками, назовем поясом[4, 5].

Рисунок 1.1 - План участка речного русла в изобатах

Расход воды Q_p=∆ ψ будет расходом струи.

Взяв в качестве исходной систему уравнений движения, заменим в ней сумму z₀+h отметками свободной поверхности z ′, т.е. введем в уравнения движения продольный и поперечный уклоны свободной поверхности

Сделаем следующее небольшое усовершенствование, на необходимость которого указывал В.М. Маккавеев. Так как в общем случае возможно и сжатие, и расширение плановых струй, то следует считаться с добавочными потерями энергии типа «местных», не учитываемых формулой Шези. Эти добавочные потери представим в виде

(1.4)

При выполнении расчетов условимся на участках сжатия спокойного потока коэффициент сопротивлении ζ считать равным нулю

а на участках расширения, где интенсивность турбулентности всегда возрастает, принимать ориентировочно, что теряется половина восстанавливаемой потенциальной энергии

Что касается коэффициента Шези C, то для его определения воспользуемся формулой Маннинга

,

где значения коэффициента шероховатости n во всех точках плана течения будем считать известными. Сделав указанные подстановки, получим уравнения движения в следующем виде:

(1.5)

Записав такое же уравнение на оси смежной i -ой струи и отмечая относящиеся к ней элементы движения индексом 0, определим отношение продольных падений свободной поверхности двух смежных струй на участке между двумя поперечниками. Решая это уравнение, получаем основную формулу Бернадского, так называемое «правило рисунка»[4],

(1.6)

Входящие сюда поперечные разности уровней ε должны определяться с помощью записанного в конечных разностях второго уравнения (1.5)

План течения по способу Бернадского строится путем последовательного перехода от одной клетки к другой. «Правило рисунка» (1.6) служит для назначения размеров данной клетки исходя из известных размеров начальной клетки того же пояса.

Построение в целом выполняется в порядке последовательных приближений. В первом приближении пренебрегают кривизной струй и полагают изменение глубин вдоль струй всюду медленным. При этих допущениях подкоренное выражение в (1.6) становится близким к единице[4].

В большинстве случаев практики сведения о шероховатости дна недостаточны для того, чтобы варьировать величиной коэффициента n по площади дна и вместо (1.6) приходится применять более простую формулу

(1.7)