Распределение средних по глубине скоростей в русле произвольного сечения

Для расчета плана течений с помощью уравнения (1.22) необходимо выразить величину касательных напряжений τ _sn и напряжений на дне τ ₀ через скорость U. Значение τ _sn будем определять при помощи наиболее простой гипотезы, учитывая, что в рассматриваемом случае направление течения совпадает с направлением продольной координаты[6].

Значение коэффициента пропорциональности примем постоянным для русла данного сечения. Местные касательные напряжения сил трения на дне будем полагать пропорциональными квадрату средней скорости на вертикали τ _д ≈ U² и выразим эту зависимость в виде, аналогичном известной формуле гидравлики

τ _д = ρ λ _h(U²/2). (1.23)

Коэффициент гидравлического трения λ _h будем определять по существующим формулам для величины λ в русле бесконечной ширины, имея в виду при этом, что в переходной области и для гидравлически гладких русл коэффициент λ _h будет зависеть от числа Рейнольдса.

Для области квадратичного сопротивления коэффициент гидравлического трения целесообразно выразить через принятые в гидравлических расчетах параметры потока – коэффициент шероховатости русла n _ш и глубину h. Эту зависимость запишем аналогично известной формуле гидравлики

λ = 2g/C²

через коэффициент Шези C_h, определенный по локальному гидравлическому радиусу R_h, в виде

λ _h = 2g/C_h². (1.24)

Для русла произвольного сечения в выражение для определения локального значения силы трения по дну необходимо вводить поправочный коэффициент k _ф, учитывающий влияние формы русла, значение которого определится из условия, что полученные по формуле (1.24) значения τ _д при интегрировании по смоченному периметру должны дать среднее для всего русла τ, определяемое по известной формуле равномерного движения

τ = ρ gRI,

т.е. τ = ρ gRI = 1/χ ₀∫ ^χ τ _д dχ. (1.25)

Введение коэффициента k _ф в формулу для локальных касательных напряжений на дне основывается на следующем. Квадратичная зависимость касательных напряжений от средней скорости для всего потока в целом была получена и обоснована обширными экспериментами.

В динамическое уравнение равномерного движения для всего потока (1.25) не входят силы внутреннего взаимодействия в потоке. При рассмотрении динамического равновесия элементарной струйки также можно предполагать наличие квадратичной зависимости между локальным значением τ _д и локальной средней по вертикали скоростью U в виде формулы (1.23).

Однако коэффициент пропорциональности в связи τ _д = τ _д(U) будет в общем случае отличаться от коэффициента пропорциональности в аналогичном выражении для всего русла и будет зависеть от глубины на данной вертикали.

Поэтому в формуле:

τ _д = ρ g(U²/k _ф C_h²) (1.26)

введен коэффициент k _ф, позволяющий выполнить очевидное интегральное условие сохранения импульса сил трения (1.25).