Линейная эмпирическая формула

(линейная регрессия)

Самой простой является аппроксимация (приближение) прямой линией, так называемой линейной регрессией. Рассмотрим МНК для такого случая, когда уравнение регрессии имеет вид

y = j (x, a, b) = a + bx (5.15)

Согласно МНК наилучшими параметрами функции j (x, a, b) считаются те, для которых сумма квадратов отклонений S (a, b) является минимальной:

Для минимизации функции S=S(a, b) достаточно продифференцировать ее по параметрам a и b и приравнять производные нулю.

В результате чего получим систему линейных алгебраических уравнений, из которой определим параметры a и b.

Решив эту систему (например методом Крамара), получим неизвестные параметры а и b:

где

Подставив найденные значения а и в в линейную формулу (5.15), получим математическую модель исследуемого процесса.

Степень точности аппроксимации исследуемого процесса с помощью полученной функциональной зависимости может быть оценена по значению среднего квадратичного отклонения.

Под средним квадратичным отклонением функций y=f(x) и y= j (x) на множестве точек понимается число

где y_i – экспериментальное значение, j (x_i)– расчетное значение, вычисленное по формуле (5.15) для x_i. (i= 1, 2,.., n).

В численных методах анализа [6] доказывается, что если среднее квадратичное отклонение мало для “подавляющего большинства” значений x Î [ a, b ] (т.е. в “среднем” на [ a, b ]), то абсолютная величина f (x)-j (x) также мала на отрезке [ a, b ], т.е. для xÎ [ a, b ] (рис.5.3).

Рис.5.3. Геометрический смысл точности аппроксимации