Математическая модель задачи оптимизации

Задача оптимизации обычно сводится к отысканию наименьшего или наибольшего значения некоторой функции, которую принято называть целевой функцией (или функцией цели):

Z = Z (х ₁, х ₂, х ₃, ….х_n). (6.1)

В качестве целевой функции могут быть приняты, например: минимальный вес конструкции, максимальный объем выпуска продукции, минимальная стоимость перевозок груза; максимальная прибыль и т.д.

Параметры х ₁, х ₂, х ₃, ….х_n, – переменные величины, которые могут изменяться непрерывно или дискретно и должны однозначно определять целевую функцию. Они называются проектными (управляемыми) параметрами.

Количество n параметров х_i (i= 1, 2, … n), определяет размерность (сложность) задачи.

Область определения функции цели (6.1) называется пространством проектирования. Это пространство обычно не столь велико, как может показаться вначале.

В практических задачах это пространство ограничено рядом условий, связанных с физической сущностью задачи. Это могут быть законы природы, механики, экономики, права, наличие необходимых материалов и ресурсов и т.п.

Управление строительством, техническое проектирование всегда ведутся в условиях жестких ограничений на материальные, энергетические, временные и прочие виды ресурсов. В результате этих ограничений область проектированя, как правило, уменьшается.

Выражения, описывающие эти условия, называются ограничениями задачи. Число ограничений может быть произвольным. Они делятся на две группы:

– ограничения-равенства:

h_i (х ₁, х ₂, х ₃, ….х_n)=0 (i =1, 2, … k), (6.2)

– и ограничения-неравенства:

g_j (х ₁, х ₂, х ₃, ….х_n) £ или ³ 0 (j =1, 2, … l). (6.3)

Множество значений параметров при которых выполняются ограничения (6.2)-(6.3), называется областьюдопустимых решений. Будем обозначать это множество .

Решение задачи оптимизации состоит в нахождении значений управляемых параметров , удовлетворяющих заданным ограничениям и обращающими в максимум или минимум целевую функцию.

С геометрической точки зрения целевая функция

Z = Z () определяет некоторую (n+ 1)-мерную поверхность (гиперповерхность) на n -мерном евклидовом пространстве E_n, называемом пространством проектирования. Ограничения задачи определяют пространство допустимых решений. Здесь n – число независимых управляемых параметров.

Например, при n =1 пространством проектирования является отрезок, а функции цели соответствует кривая на плоскости (рис.6.1, а).

При n =2 целевая функция изображается поверхностью в трехмерном пространстве, а пространство проектирования – областью на плоскости (рис.6.1, б).

При n³ 3 – это некоторая гиперповерхность, которую невозможно изобразить обычным способом.

S Z = f(x) n=1 b a Z x

Рис.6.1. Геометрическое представление целевой функции и ограничений

В самом общем виде решение задачи оптимизации состоит в нахождении значений проектных параметров , удовлетворяющих заданным ограниче-ниям и обращающим в максимумили минимум целевую функцию Z.

Доказывается, что если целевая функция непрерывна, а множество допустимых решений замкнуто, не пусто и ограниченное, то решение задачи (6.1) – (6.3) существует.