Эмпирические формулы с двумя параметрами (метод выравнивания)

Для описания некоторых технологических процессов удобно использовать эмпирические формулы, содержащие два параметра:

y= j (x, a, b). (5.24)

Например: y = a x ^b, y= a + b / x, y=x/(a+bx), y=a bx и т.д.

Пусть заранее известно, что экспериментальные точки M(x_i, y_i), i =1, … n, заданные табл. 5.1 не лежат на одной прямой. Для нахождения параметров a, b используется метод выравнивания.

Идея метода. Вводятся новые переменные (новая система координат X^*OY^*):

так, чтобы преобразованные точки M^*(x_i^*, y_i^*), i =1, … n, в плоскости X^*OY^* могли быть аппроксимированы линейной зависимостью

y^*=A+Bx^*. (5.26)

Здесь (i =1, 2, …, n) (рис.5.4).

Параметры А и В находятся методом наименьших квадратов (см. пункт 5.3.3).

Рис.5.4. Схема метода выравнивания

n Пример 5.2. Пусть заранее известно, что экспериментальные точки M(x_i, y_i), i=1, 2, …n, заданы в виде табл.5.1 и не лежат на одной прямой. А эмпирическая формула имеет вид:

y=a x^b (5.27)

Для определения новой системы координат прологарифмируем выражение (5.27)

ln y=ln a + b ln x

и введем новые переменные:

y^* = ln y; x^* =ln x.

Обозначив A=lna; B=b, получим линейную эмпирическую формулу в новой системе координат X^*OY^* :

y^*=A+Bx^*

Неизвестные параметры А, В находим, используя МНК, и по аналогии с (5.17) строим нормальную систему

Переходя к старым переменным, получим систему уравнений для определения параметров a, b.

Решив эту систему относительно a, b (например, методом Крамара) и подставив их значения в выражение (5.27), получим нужную эмпирическую формулу. Насколько она хороша, можно оценить приведенным выше способом.