Метод контурных токов

Метод контурных токов (МКТ) основан на составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для независимых контуров цепи. При этом предполагается, что в каждом условно изолированном контуре цепи протекает свой контурный ток (чисто расчетная, абстрактная величина). В методе используется следующее свойство: ток в любой ветви может быть представлен в виде алгебраической суммы «контурных» токов, протекающих по этой ветви.

Основная цель применения данного метода — уменьшение количества расчетных уравнений путем уменьшения числа неизвестных (вместо большого числа реальных токов в ветвях определяются промежуточные величины — контурные токи).

Метод контурных токов предполагает:

1. Выбор направления токов в ветвях схемы и направления контурных токов в контурах схемы. Обычно контуры выбирают по «ячейкам» схемы. Если в схеме есть источники тока, то контур выбирают так, чтобы он проходил через ветвь с источником тока, в этом случае контурный ток считается известным (равным току источника). После этого ветвь с данным источником тока уже не должна входить в следующий выбранный контур.

2. Составление системы уравнений по МКТ. Система уравнений по МКТ для n контуров имеет следующую каноническую форму записи:

,

где — собственное сопротивление п -го контура (сумма сопротивлений ветвей, входящих в контур п). Собственные сопротивления — это коэффициенты, располагающиеся по главной диагонали матрицы сопротивлений, они всегда положительны;

— сопротивление ветви, общей для контуров п и т (взаимное сопротивление). Если контурные токи в общей ветви сонаправлены, то взаимное сопротивление положительно, в противном случае — отрицательно. Коэффициенты вида располагаются зеркально относительно главной диагонали матрицы сопротивлений;

— контурный ток п -го контура;

— контурная ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре п);

Если в цепи есть контуры с источниками тока, то контурные токи этих контуров считаются известными, а уравнение по второму закону Кирхгофа для данного контура не составляется (вместо него в систему уравнений добавляется уравнение вида ). Это условие обосновано, поскольку составление уравнения по второму закону Кирхгофа для контура, включающего ветвь с источником тока, лишено физического смысла, т.к. собственное сопротивление такого контура бесконечно велико (уравнение несбалансировано).

Решением приведенной системы уравнений являются значения контурных токов, которые представляют собой промежуточные величины.

3. Нахождение истинных токов в ветвях схемы по значениям контурных токов. Чтобы перейти к искомым значениям истинных токов ветвей, необходимо определить, какие контурные токи вносят свой «вклад» в ток рассматриваемой ветви. Если по ветви проходит только один контурный ток, то он эквивалентен истинному току в данной ветви. Если через рассматриваемую ветвь проходит несколько контурных токов, то истинный ток ветви представляет собой алгебраическую сумму контурных токов: со знаком «+» в нее входят контурные токи, сонаправленные с током ветви, а с «-» — противоположно направленные контурные токи.

Определим методом контурных токов токи в ветвях цепи, приведенной на рис.2.9. Выберем контуры по ячейкам схемы. Составим систему уравнений МКТ:

.

Рассчитав контурные токи, найдем реальные токи в ветвях:

; ; ; ; ; .

Применим МКТ для расчета цепи с идеальными источниками тока (рис.2.11).

Рисунок 2.11

В цепи 9 ветвей, из которых две содержат источники тока (в этих ветвях токи известны). Метод законов Кирхгофа предполагает решение системы из 7 уравнений, тогда как по МКТ для этой же схемы достаточно составить 2 уравнения. Докажем это. В заданной цепи определяются 4 независимых контура, первый и третий из которых проходят через ветви с источниками токов (контурные токи уже заданы), поэтому система уравнений по МКТ для данной схемы будет иметь вид:

.

Следует отметить, что известные контурные токи обязательно должны входить в уравнения для остальных контуров со своими взаимными сопротивлениями. Далее определим реальные токи в ветвях цепи:

; ; ;

; ; ; .

Особенностью данной схемы является наличие ячейки с двумя источниками тока. По ней расчетный контур выбирать нельзя (контурный ток можно приравнивать к току только одного источника тока), поэтому четвертым выбран внешний контур, включающий последнюю неохваченную ветвь с .