Метод узловых напряжений

Метод узловых потенциалов или узловых напряжений (МУН) основан на составлении уравнений по первому закону Кирхгофа для независимых узлов электрической цепи. Один узел цепи принимается за базисный, его потенциал обычно задается равным нулю.

Основная цель применения данного метода — уменьшение количества расчетных уравнений путем уменьшения числа неизвестных: вместо большого числа реальных токов в ветвях определяются промежуточные величины —напряжения между узлами схемы. Далее, зная эти напряжения, можно легко определить ток в каждой ветви, применяя закон Ома для пассивной или активной ветви.

Метод узловых напряжений предполагает:

1. Определение базисного узла схемы. Решение будет проще, если к базисному узлу будет подключено наибольшее количество ветвей цепи.

Если в цепи есть идеальные источники ЭДС, то базисный узел выбирают так, чтобы к нему присоединялась ветвь с идеальным источником ЭДС. В этом случае узловой потенциал следующего за источником ЭДС узла становится известным, тем самым в системе уравнений по МУН изначально уменьшится количество неизвестных.

2. Составление системы уравнений по МУН. Система уравнений по МУН для узлов имеет следующую каноническую форму записи:

,

где — собственная проводимость п -го узла (сумма проводимостей ветвей, подключенных к узлу п). Собственные проводимости — это коэффициенты, располагающиеся по главной диагонали матрицы сопротивлений, они всегда положительны;

— суммарная проводимость ветвей, соединяющих напрямую узлы п и т (взаимная проводимость). Коэффициенты вида располагаются зеркально относительно главной диагонали матрицы сопротивлений, они всегда отрицательны;

— «узловой» ток (алгебраическая сумма токов всех ветвей, подключенных к узлу п). Узловой ток определяется как сумма токов всех источников тока и сумма произведений ЭДС источников на проводимость их ветви . Со знаком «+» слагаемые записываются в случае, если ток источника тока и ЭДС источника ЭДС направлены к узлу п.

Если в цепи есть ветви с идеальным источником ЭДС, соединяющие базисный узел с последующими узлами цепи, то узловые потенциалы этих узлов считаются известными, а уравнение по первому закону Кирхгофа для данного узла не составляется (вместо него в систему уравнений добавляется уравнение вида ). Это условие обоснованно, поскольку составление уравнения по первому закону Кирхгофа для узла, включающего ветвь с идеальным источником ЭДС, лишено физического смысла, т.к. собственная проводимость такой ветви бесконечно велика (уравнение несбалансировано).

Решением приведенной системы уравнений являются значения узловых потенциалов, которые представляют собой реальные, но промежуточные величины.

3. Нахождение токов в ветвях схемы. Зная разности потенциалов на зажимах всех ветвей цепи, несложно определить значения токов ветвей. Для этого нужно применить к каждой рассматриваемой ветви закон Ома.

Составим систему уравнений МУН для цепи, приведенной на рис.2.12. В схеме 4 узла. Идеального источника ЭДС в цепи нет. В качестве базисного выбираем узел 4, принимаем , для остальных трех составляем систему уравнений по первому закону Кирхгофа:

.

Решением данной системы будут значения: , , . Эти напряжения дают возможность сразу определить токи в ветвях 1-4, 2-4, присоединенных к базисному узлу. Ток в ветви 3-4 равен J.

Рисунок 2.12

Для определения токов в остальных ветвях (1-2, 2-3 и 1-3) найдем напряжения на их зажимах:

, , .

Далее по закону Ома определим токи в ветвях:

; ; ;

; ; .

Рассмотрим цепь, содержащую идеальные источники ЭДС.

Рисунок 2.13

В цепи 6 ветвей, из которых две содержат идеальные источники ЭДС и одна — источник тока. Рационально выбрать базисным узел 2, т.к. к нему присоединены сразу два идеальных источника ЭДС. При этом становятся уже известными узловые напряжения для узлов 3 и 4: ; .

Метод законов Кирхгофа предполагает решение системы из 5 уравнений, тогда как по МУН для этой же схемы достаточно составить одно уравнение. Докажем это. В заданной цепи 4 узла, из которых узел 2 — базисный (имеет нулевой потенциал), а узлы 3 и 4 имеют известные потенциалы.

Следует отметить, что при составлении системы уравнений по МУН известные узловые напряжения обязательно должны входить в уравнения для остальных узлов со своими взаимными проводимостями.

Система уравнений по МУН для схемы рис.2.13 будет иметь вид:

.

Решением этой системы, а фактически одного уравнения, является значение .

Далее определим реальные токи в ветвях цепи. Сразу отметим, что токи в ветвях 2-3 и 2-4 по закону Ома определить не удастся, т.к. эти ветви имеют нулевое сопротивление. Токи в таких ветвях можно определить только по первому закону Кирхгофа.

Для определения токов в ветвях 1-3 и 1-4 найдем напряжения на их зажимах: , .

Далее по закону Ома определим токи в ветвях 1-2, 1-3 и 1-4:

; ; ;

.

Для определения токов и составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 3 и 4: ; , откуда найдем

; .