Точка устранимого разрыва

Определение

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.

Пример

Рассмотрим функцию . Найдем односторонние пределы и значение функции в точке :

Так как и не равны значению функции в точке, то точка - точка устранимого разрыва.

№6: «Предел последовательности».

Определение: число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности (заранее выбранной) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерам окажутся внутри окрестности.

Число называется пределом последовательности , если , , : . Предел последовательности обозначается . Куда именно стремится , можно не указывать, поскольку , оно может стремиться только к .

Свойства:

• Если предел последовательности существует, то он единственный.
• 
• (если оба предела существуют)
• 
• (если оба предела существуют)
• (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
• Если и , то (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)

№1.

1)

2)

3)

4)

8) Некоторые важные пределы

Если угол а выражен в радианах, то При нахождении многих пределов применяются следующие пределы: (13.19) (13.20) (13.21) Частными случаями формул (13.19) и (13.20) являются соответственно формулы: (13.22) (13.23) При нахождении пределов вида Необходимо иметь В виду следующее: 1) если существуют конечные пределы 2) если И , то Находится с помощью формул 3) если То, положив Где При Получим Пример 13.12. Найти При Выражение Получаем неопределенность Вида Чтобы раскрыть ее, введем новую переменную по формуле Откуда Когда Переходя к пределу С использованием формул (13.13) и (13.18), находим В частности, при Получаем Пример 13.13. Найти Разделив числитель и знаменатель на И воспользовавшись результатом примера 13.12, получим Пример 13.14. Найти Преобразуя эту дробь и применяя первую из формул (13.17), находим Пример 13.15. Найти Преобразуя данную функцию, вводя новую переменную И применяя Формулу (13.21), находим