Ранг матрицы. Ступенчатые матрицы.

Раздел 4. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

1. Основные понятия. Матричный метод решения СЛАУ и формулы Крамера

2. Ранг матрицы. Ступенчатые матрицы

3. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений

Основные понятия. Матричный метод решения СЛАУ и формулы Крамера.

В самом общем виде СЛАУ выглядит следующим образом:

(1)

Здесь буквы – неизвестные, числа являющиеся коэффициентами при неизвестных, называются коэффициентами системы; числа называются свободными членами.

Решением системы называется совокупность n чисел - энка (двойка, тройка, …) чисел, которая обращает все уравнения системы в верные числовые равенства.

Например, для того чтобы проверить, что двойка чисел (1; 2) является решением СЛАУ надо в оба уравнения системы подставить 1 вместо и 2 вместо :

Видим, что оба числовых равенства верные.

Для решения СЛАУ существует много различных методов. Рассмотрим некоторые из них.

Во – первых, систему (1) можно записать в матричной форме. Для этого введем в рассмотрение матрицы

. (2)

Матрица А состоит из коэффициентов при неизвестных системы (1) и называется матрицей системы. Матрица – столбец В есть столбец свободных членов системы, матрица – столбец Х состоит из неизвестных системы. Теперь система (1) может быть записана в виде

(3)

Читателю рекомендуется проверить идентичность формул (1) и (3).

Сначала рассмотрим весьма частный случай системы (1), который, впрочем, имеет огромное теоретическое значение и практическое применение. Имеются в виду два ограничения:

1) Число уравнений системы равно числу неизвестных (m=n), т.е. матрица А – квадратная.

2) Матрица А – неособая (невырожденная), т.е.

Тогда существует обратная матрица . Обе части уравнения (3) умножим слева (сомножитель должен стоять слева!) на и получим:

или, т.к. , окончательно имеем формулу, означающую матричный способ решения СЛАУ:

(4)

Распишем формулу (4) подробно для случая матрицы третьего порядка:

(5)

где .

Рассмотрим определитель

(Смотри первую строку формулы (5)).

Это выражение получено разложением по элементам первого столбца. При этом заметим, что у определителей алгебраические дополнения соответствующих элементов первого столбца одинаковые.

Аналогично,

Теперь формула (5) примет вид

,

т.е., обозначив ,

(6)

Формулы (6) называются формулами Крамера решения СЛАУ.

Как видим, формулы Крамера получены из матричного способа (4) решения СЛАУ и оба эти метода имеют ограниченное применение: их можно использовать, если выполняются два указанных выше ограничения:

1) 2)

Вместе с тем, как увидим на примерах, практическая реализация этих методов различна.

Пример 1. Решить СЛАУ

1) Решим матричным способом, т.е. по формуле (4): У нас

В сущности, матричный способ сводится к нахождению обратной матрицы . Поэтому начинаем с вычисления определителя матрицы А.

Находим :

.

Наконец, по формуле (4) получаем:

Ответ: система имеет единственное решение – единственную тройку чисел (1; 0; -2), т.е.

2) Решим эту же систему по формулам Крамера.

Главный определитель системы уже вычислили в первом методе:

Вычисляем вспомогательные определители:

По формулам Крамера получаем:

Результаты обоих методов совпали.

Ранг матрицы. Ступенчатые матрицы.

Целью настоящего и следующего параграфов является научиться решать СЛАУ (1) в самом общем виде.

Рассмотрим матрицу и число Выберем в матрице А какие – нибудь строк и столбцов. На их пересечении находятся элементы, которые образуют определитель порядка. Этот определитель называется минором порядка. Миноров порядка у матрицы может быть много. Некоторые из этих миноров, а может быть и все, могут быть равными нулю. Учитывая, что вычисление определителя порядка сводится к вычислению определителей порядка и т.д., то нетрудно догадаться, что если все миноры порядка матрицы А равны нулю, то все миноры порядков выше также равны нулю. Предположим, что все миноры порядка равны нулю, но среди миноров порядка найдется хотя бы один, отличный от нуля. Тогда можно сказать, что наивысшим порядком минора, отличного от нуля, матрицы А будет .

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок минора, отличного от нуля.

Ранг матрицы обозначается

Например, в матрице её определитель является минором третьего порядка. Можно посчитать этот определитель и убедиться, что Это означает, что Возмем, например, минор второго порядка, который находится в левом верхнем углу, он не равен нулю

Следовательно,

Рассмотрим один весьма удобный способ определения ранга матриц.

Определение. Элементарными преобразованиями матриц называются следующие:

1. Перестановка местами любых ее двух строк (столбцов).

2. Умножение любой строки (столбца) на любое число

3. Прибавление кратной строки.

Матрицы, полученные одна из другой с помощью элементарных преобразований, называются равносильными (или эквивалентными) и обозначаются:

Теорема. Элементарные преобразования не изменяют ранга матриц, т.е.:

Действительно, это следует из свойств определителей. Третье элементарное преобразование вообще не изменяет определителя, второе – умножит определитель на это число , первое изменит знак. Но если определитель (минор) был равен нулю, он и останется равным нулю; если был отличен от нуля, то может измениться, но останется отличным от нуля. Это означает сохранение ранга.

Определение. Матрица называется ступенчатой, если у нее все нулевые строки находятся внизу, а у остальных строк самый левый ненулевой элемент расположен левее таких же элемантов в нижних строках.

Примеры ступенчатых матриц:

Очень просто определяется ранг ступенчатых матриц: Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Поэтому ранг любой матрицы удобно определять приведением ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.

Для наглядности и удобства предлагаются следующие обозначения элементарных преобразований:

Здесь левая запись означает, что меняем местами первую и вторую строки; средняя запись означает основное элементарное преобразование – прибавление кратной строки, т.е. первая строка умножается на (-2) и прибавляется ко второй; правая запись означает умножение второй строки на . Теперь на примере рассмотрим определение ранга матрицы приведением к ступенчатому виду:

Пример 2.

Пример 3.