Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим теперь СЛАУ (1) или (3) в общем виде и введем в рассмотрение так называемую расширенную матрицу системы (1), добавив к матрице А столбец свободных членов. При этом полезно (хотя и не обязательно) для наглядности отделять вертикальной чертой последний столбец.

Метод Гаусса состоит в том, что элементарными преобразованиями строк приводится к ступенчатому виду. Заметим, что перемена местами двух строк матрицы означает, что в системе (1) поменяли местами два уравнения. Ясно, такие две системы равносильны. Умножение строки матрицы на число означает для системы (1) умножение обеих частей уравнения на число - равносильность не нарушается. Наконец, третье преобразование означает известный из средней школы метод алгебраического сложения: одно уравнение (обе части) умножить на любое число и прибавить к другому. Итак, если приведем к ступенчатому виду, ступенчатой матрице сопоставим систему, то полученная система будет равносильна данной, но решать ее очень легко.

Все возможные случаи рассмотрим на примерах.

Пример 4. Решить СЛАУ, которую мы решали первыми двумя способами, методом Гаусса:

Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее элементарными преобразованиями строк к ступенчатому виду:

Прервем на некоторое время цепочку преобразований и заметим, что сначала мы поменяли местами первую и вторую строки для того, чтобы на месте элемента (левый верхний угол матрицы ) стояла 1 или (-1), посколько с единицей или минус единицей удобно проводить элементарные перобразования и мы легко получили нули в первом столбце. Тем самым первая строка «свое отработала». В дальнейшем мы ее просто переписываем, а работать начинаем со второй строкой. Но во второй строке самый левый ненулевой элемент не равен единице – он равен 7. Можно, конечно, вторую строку умножить на и прибавить к третьей, чтобы «обнулить» число 11 в третьей строке, но работать придется с дробными числами, что менее удобно, чем с целыми (впрочем, читатель может все таки попробовать это проделать). Поэтому лучше сначала на месте элемента получить 1 или

(-1): продолжаем прерванные преобразования матрицы :

(22)

Итак, матрица приведена к ступенчатому виду. Заметим, что заодно автоматически к ступенчатому виду приведена и матрица А – она отделена вертикальной чертой.

Напоминаем, что ранг ступенчатой матрицы определяется очень просто – он равен числу ее ненулевых строк (строка – ненулевая, если в ней есть хотя бы один ненулевой элемент).

В методе Гаусса всегда надо определять три числа: – число неизвестных, ранг матрицы А системы и ранг расширенной матрицы системы. В нашем примере Запомним этот результат и переходим собственно к решению системы.

Как уже говорилось, исходная СЛАУ и та, которая соответствует полученной ступенчатой матрице, равносильны. Составим СЛАУ по нашей ступенчатой матрице:

Легко видеть, что эта система легко решается «снизу вверх»: из третьего уравнения сразу получается Подставляем это значение во второе уравнение и получаем: Теперь найденные подставляем в первое уравнение:

Впрочем, можно и этот последний момент решения СЛАУ «механизировать», продолжив преобразовывать ступенчатую матрицу (снизу вверх), приводя ее уже к диагональному виду:

Полученной матрице соответствует СЛАУ:

, что сразу является ее решением.

Итак, получили

Ответ: СЛАУ имеет единственное решение – одну тройку чисел (1; 0; 2); при этом

Пример 5. Решить СЛАУ

По методу Гаусса получаем:

Запомним числа: и по ступенчатой матрице запишем СЛАУ:

Последнее равенство является неверным. На самом деле третье уравнение выглядит следующим образом: Ясно, что оно не выполняется ни при каких значениях неизвестных. Это означает, что СЛАУ не имеет решений (система несовместна).

Пример 6. Решить СЛАУ