Формулы прямоугольников. Пусть , т.е. мы аппроксимируем левой кусочно-постоянной интерполяцией

Пусть , т.е. мы аппроксимируем левой кусочно-постоянной интерполяцией. Тогда получим .

Таким образом, . Эта формула называется формулой левых прямоугольников.

Рис. 4.1. Метод левых прямоугольников

Геометрическая интерпретация метода левых прямоугольников представлена на рис. 4.1, который показывает, что точное значение интеграла (площадь криволинейной области под графиком ) заменяется на сумму площадей прямоугольников, построенных под кусочно-постоянной интерполирующей функцией.

Аналогично может быть получена формула правых прямоугольников. Здесь . В результате получим: .

Рис. 4.2. Метод правых прямоугольников

Оценим погрешность формулы левых прямоугольников:

.

Воспользуемся формулой Тейлора:

.

Тогда Пусть , тогда

,
т.е. формула левых прямоугольников имеет первый по порядок точности. Аналогичную оценку можно получить для формулы правых прямоугольников.

Если на каждом отрезке заменить значение функции f (x) на ее значение в середине отрезка, т.е. получим формулу средних прямоугольников: .

Если функция задана таблично, среднее значение на локальном отрезке можно вычислить с помощью линейной интерполяции , и тогда метод средних имеет вид:

Для оценки погрешности метода

.

воспользуемся формулой Тейлора:

.

Тогда

Поскольку и , то

Пусть , тогда

,
т.е. формула средних прямоугольников имеет второй порядок точности.