Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Формула Симпсона






При вычислении интеграла с помощью метода Симпсона (парабол), функцию на локальном отрезке заменяют параболой, проходящей через точки , , , где – середина локального отрезка. Построим полином Лагранжа второй степени:

.

Здесь , , .

Тогда

Таким образом, мы получаем формулу Симпсона

.

Можно показать, что формула Симпсона имеет четвертый порядок точности.

ПРИМЕР 4.1. Вычислить интеграл J = .

Найдем значение определенного интеграла точно:

5, 25.

Разобьем отрезок на 10 частей, т.е. . Вычислим значение интеграла по формулам левых, правых, средних прямоугольников, по формуле трапеций и формуле Симпсона. Для этого составим таблицы:

  -1   -0.85 4.213375 25.1205
  -0.7 4.267 -0.55 4.181125 24.9675
  -0.4 3.976 -0.25 3.671875 21.9525
  -0.1 3.289 0.05 2.847625 17.0475
  0.2 2.368 0.35 1.870375 11.2245
  0.5 1.375 0.65 0.902125 5.4555
  0.8 0.472 0.95 0.104875 0.7125
  1.1 -0.179 1.25 -0.35938 -2.0325
  1.4 -0.416 1.55 -0.32863 -1.8075
  1.7 -0.077 1.85 0.359125 2.3595
           

Для нахождения интеграла методом левых прямоугольников, необходимо просуммировать элементы третьего ряда в диапазоне и умножить на шаг . Аналогично для формулы правых прямоугольников, суммировать в диапазоне . Сумма элементов пятого столбца, помноженная на шаг, даст результат по формуле средних прямоугольников. Согласно формуле трапеций, необходимо к полусумме первого и последнего значения элементов третьего столбца добавить сумму всех остальных членов этого столбца, и умножить результат на шаг . Суммируя значения последнего столбца и умножая ее на =0, 05, найдем интеграл по методу Симпсона, результаты соберем в таблицу:

 

Формула левых прямоугольников 5.7225
Формула правых прямоугольников 4.8225
Формула средних прямоугольников 5.23875
Формула трапеций 5.2725
Формула Симпсона 5.25

 

Как следует из таблицы, для данной подынтегральной функции формула левых прямоугольников дает приближенное значение с избытком, а формула правых прямоугольников – с недостатком. Хорошую точность дали метод трапеций и метод средних прямоугольников. Результаты различаются, поскольку значения известной подынтегральной функции в методе средних были вычислены в средних точках, а не получены путем интерполяции. Метод Симпсона дал абсолютно точное значение интеграла. Это связано с тем, что первообразная функция в данном примере является полиномом четвертого порядка, для которых метод Симпсона дает точное значение.



Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.005 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал