Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Формула Симпсона
При вычислении интеграла с помощью метода Симпсона (парабол), функцию на локальном отрезке заменяют параболой, проходящей через точки , , , где – середина локального отрезка. Построим полином Лагранжа второй степени: . Здесь , , . Тогда Таким образом, мы получаем формулу Симпсона . Можно показать, что формула Симпсона имеет четвертый порядок точности. ПРИМЕР 4.1. Вычислить интеграл J = . Найдем значение определенного интеграла точно: 5, 25. Разобьем отрезок на 10 частей, т.е. . Вычислим значение интеграла по формулам левых, правых, средних прямоугольников, по формуле трапеций и формуле Симпсона. Для этого составим таблицы:
Для нахождения интеграла методом левых прямоугольников, необходимо просуммировать элементы третьего ряда в диапазоне и умножить на шаг . Аналогично для формулы правых прямоугольников, суммировать в диапазоне . Сумма элементов пятого столбца, помноженная на шаг, даст результат по формуле средних прямоугольников. Согласно формуле трапеций, необходимо к полусумме первого и последнего значения элементов третьего столбца добавить сумму всех остальных членов этого столбца, и умножить результат на шаг . Суммируя значения последнего столбца и умножая ее на =0, 05, найдем интеграл по методу Симпсона, результаты соберем в таблицу:
Как следует из таблицы, для данной подынтегральной функции формула левых прямоугольников дает приближенное значение с избытком, а формула правых прямоугольников – с недостатком. Хорошую точность дали метод трапеций и метод средних прямоугольников. Результаты различаются, поскольку значения известной подынтегральной функции в методе средних были вычислены в средних точках, а не получены путем интерполяции. Метод Симпсона дал абсолютно точное значение интеграла. Это связано с тем, что первообразная функция в данном примере является полиномом четвертого порядка, для которых метод Симпсона дает точное значение.
|