Численные методы решения систем ОДУ первого порядка

Рассмотренные выше методы решения задачи Коши для одного уравнения могут быть использованы также для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка и уравнений высших порядков.

Пусть задана задача коши для системы двух уравнений первого порядка:

Обобщим формулы явного метода Эйлера (5.5):

,

модифицированного метода Эйлера (5.7):

,

схемы Рунге-Кутта четвертого порядка точности (5.10):

Вычисления приближенного решения проводятся путем последовательного применения этих формул.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка

Введем вторую неизвестную функцию . Тогда исходная задача Коши для уравнения сводится к следующей задаче для системы двух ОДУ первого порядка:

,

которая решается с помощью методов, описанных выше.

ПРИМЕР 5.2. Найти решение задачи Коши:

на отрезке .

Точное решение: .

Проверим, что точное решение удовлетворяет данному дифференциальному уравнению. Действительно:

Решим задачу явным методом Эйлера (5.5), модифицированным методом Эйлера (5.7) и методом Рунге-Кутты (5.10) на сетке с шагом .

Введем функцию и получим следующую задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка:

.

Используем формулы явного метода Эйлера:

,

модифицированного метода Эйлера:

.

четырехэтапного метода Рунге – Кутты:

Решение оформим в виде таблиц.

Схема Эйлера:

				Точное решение	Погрешность
	0.2		-0.2	0.983685	0.016315
	0.4	0.96	-0.28	0.947216	0.012784
	0.6	0.904	-0.28	0.905009	0.001009
	0.8	0.848	-0.2288	0.866913	0.018913
		0.80224	-0.14688	0.839397	0.037157

Модифицированный метод Эйлера:

						Точ.реш	Погреш.
	0.2		-0.2		-0.18	0.983685	0.016315
	0.4	0.964	-0.268	0.962	-0.244	0.947216	0.014784
	0.6	0.9132	-0.2588	0.9108	-0.2342	0.905009	0.005791
	0.8	0.86396	-0.20268	0.8615	-0.178	0.866913	0.005413
		0.8259	-0.1191	0.823432	-0.09441	0.839397	0.015965

Схема Рунге-Кутта:

							Погреш.
0.2	0.9837	-0.146		-1	-0.15	-0.486	1.79E-05
0.4	0.9472	-0.207	-0.146	-0.491	-0.209	-0.13	2.76E-05
0.6	0.905	-0.207	-0.207	-0.134	-0.209	0.113	3.18E-05
0.8	0.8669	-0.168	-0.207	0.1097	-0.17	0.272	3.25E-05
	0.8394	-0.104	-0.168	0.2695	-0.105	0.37	3.09E-05

Как можно видеть, максимальная погрешность, определяемая как разность между точным и рассчитанным значением функции , в методе Рунге-Кутта не превышает .