Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Методы Рунге-Кутты
Идея построения явных методов Рунге-Кутты -го порядка заключается в получении приближений к значениям по формуле вида , где , , , … . Здесь – некоторые фиксированные числа (параметры), которые подбирают таким образом, чтобы получить нужный порядок аппроксимации p. Как правило, для каждого p существует не одна схема Рунге-Кутты порядка p, а целое параметрическое семейство. Так, схемы Рунге-Кутта второго порядка точности образуют однопараметрическое семейство (5.8) Выделим из семейства методов (5.8) два наиболее простых и часто используемых частных случая. При получаем формулы , (5.9) которые совпадают с формулами модифицированного метода Эйлера (5.7). При a =1 выводим новый простой метод , который называется методом средней точки. Схема Рунге-Кутта четвертого порядка точности. При p =4 можно получить один из вариантов метода: (5.10) ПРИМЕР 5.1. Решить задачу Коши: на отрезке с шагом с помощью явного метода Эйлера (5.5), модифицированного метода Эйлера (5.7) и четырехэтапного метода Рунге-Кутта (5.10). Точное решение: . Построим разностную сетку . Расчетные формулы по явному методу Эйлера для данного примера: , . Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера: , , , Расчетные формулы метода Рунге-Кутта: ,
Результаты вычислений в Excel приведены ниже
Видно, что в сравнении с точным решением, самым точным является метод Рунге – Кутта.
|