Неопределённый интеграл и его свойства

Интегральное исчисление

Функции одной переменной

Неопределённый интеграл и его свойства

Функция F (x) называется первообразной функцией для функции f (x), если . Если F (x) есть первообразная функция для функции f (x), то каждая из функций F (x)+ C, где С – произвольная постоянная, будет также первообразной для функции f (x). Это означает, что если функция f (x) имеет хотя бы одну первообразную функцию, то она может иметь бесчисленное множество первообразных функций и все они отличаются друг от друга на постоянную величину.

Совокупность всех первообразных функций F (x)+ C для функции f (x) называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обозначается . Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием. Переменная х называется переменной интегрирования, функция f (x) называется подынтегральной функцией, выражение f (x) dx – подынтегральным выражением.

Неопределённый интеграл обладает свойствами, использование которых в значительной степени может упростить интегрирование функций:

Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .

Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .

Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е. .

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: .

Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е. .

Результат интегрирования не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. если , то при замене переменной интегрирования х на t . Такое свойство называется инвариантностью формулы интегрирования.

При интегрировании удобно пользоваться формулами, которые составляют таблицу основных интегралов:

Интегралы данной таблицы называются табличными. Каждая из формул таблицы справедлива в области определения подынтегральной функции.