Основные методы интегрирования

При интегрировании функций не всегда можно сразу использовать таблицу интегралов. Как правило, вначале нужно данный интеграл преобразовать таким образом, чтобы свести его к одной или нескольким формулам таблицы. Для этого используются специальные методы интегрирования, основными из которых являются непосредственное интегрирование, замена переменной (или метод подстановки), метод интегрирования по частям.

Суть метода непосредственного интегрирования состоит в том, что данный интеграл с помощью алгебраических преобразований и свойств неопределённого интеграла сводится к табличным интегралам. При этом часто удобно пользоваться некоторыми преобразованиями дифференциала, которые называются «подведением под знак дифференциала»:

, где а – число;

, где а – некоторое не равное нулю число;

;

;

;

;

.

Пример 1. Найти неопределённые интегралы:

а) ; б) ; в) ;

г) .

Решение. а) ;

б) =

;

в) =

;

г) =

.

Если интеграл непосредственно не находится, то во многих случаях результат может быть достигнут с помощью метода замены переменной (подстановки). Данный метод помогает значительно упростить подынтегральное выражение и свести интеграл к одной из формул таблицы.

Если подынтегральная функция представляет собой дробь, у которой числитель есть производная знаменателя, то такой интеграл равен логарифму натуральному от абсолютной величины знаменателя, т.е. .

Пример 2. Найти интегралы: а) ;

б) ; в) ; г) ; д) .

Решение. а) {заменим t =3 x, тогда dt =3 dx,

= ;

б) ={заменим t =3 x, dt = dx, dx = dt }=

= ;

в) ={ t =3 x 4, dt =3 dx, =

= ;

г) ={ dt =2 xdx, }=

= ;

д) = ,

.

Если интеграл имеет вид , то для его нахождения используется формула интегрирования по частям . Если в результате получилось, что интеграл в правой части формулы проще, чем в левой, то применение этой формулы оправдано. Обычно в подынтегральном выражении за функцию u принимают тот множитель, который после его дифференцирования становится более простым. Оставшуюся часть подынтегрального выражения принимают за дифференциал dv некоторой функции v.

При использовании данного метода интегрирования удобно пользоваться следующими рекомендациями:

в интегралах вида , , имеет смысл положить u = P (x), а в качестве dv взять оставшуюся часть подынтегрального выражения;

в интегралах вида , , , , следует положить dv = P (x) dx, а оставшуюся часть подынтегрального выражения обозначить через u;

в интегралах вида , можно положить , а оставшуюся часть подынтегрального выражения принять за dv.

Пример 3. Найти интегралы: а) ;

б) ; в) ; г) .

Решение. а) =

= ;

б) =

=

= ;

в) = =

= ;

г) =

к интегралу ещё раз применим интегрирование по частям:

=

= .