Определённый интеграл и его основные свойства

Пусть функция определена на отрезке . Выполним следующие действия.

Разобьём отрезок точками …, на n отрезков , , …, , которые называются частичными.

В каждом частичном отрезке произвольно выберем точку , вычислим значение функции в этой точке и произведение , где .

Если существует предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка , ни от выбора точек , то он называется определённым интегралом от функции на отрезке и обозначается

.

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования. Функция называется подынтегральной функцией, выражение - подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, - отрезком интегрирования.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу осью Ox, сбоку – прямыми x = a и x = b, называется криволинейной трапецией.

Определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определённого интеграла.

Основными свойствами определённого интеграла являются:

Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е. ;

Определённый интеграл от алгебраической суммы непрерывных на отрезке функций и равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

;

Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определённый интеграл изменит знак на противоположный, т.е. ;

Если пределы интегрирования равны между собой, то определённый интеграл равен нулю, т.е. ;

Определённый интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. …;

Если отрезок интегрирования разбит на две части и и если существуют интегралы и , то

.

Для вычисления определённых интегралов используется формула Ньютона-Лейбница

,

где , т.е. - любая первообразная функция для .