Методы вычисления определённых интегралов

При вычислении определённых интегралов используются методы непосредственного интегрирования, замены переменной (подстановки) и интегрирования по частям.

Непосредственное интегрирование предполагает сведение данного интеграла с помощью алгебраических и арифметических преобразований к формулам таблицы основных интегралов и использование формулы Ньютона-Лейбница.

Пример 1. Вычислить интегралы: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

Решение. а) = ;

б) = ;

в) = ;

г) = ;

д) = .

Метод замены переменной в определённом интеграле предполагает следующее. Пусть выполнены условия:

функция непрерывна на отрезке ;

функция определена на отрезке и имеет на нём непрерывную производную;

, .

Тогда определённый интеграл может быть вычислен с помощью введения новой переменной и при этом справедлива формула . Часто вместо замены применяют обратную замену .

Пример 2. Вычислить интегралы: а) ;

б) ; в) .

Решение. а) Выполним замену , . Вычислим пределы интегрирования для переменной t:

Тогда = .

б) Выполним замену и продифференцируем обе части равенства: , . Изменим пределы интегрирования:

В результате =

.

в) В данном случае выполним замену , тогда . Для переменной t вычислим пределы интегрирования:

x
t

Получим = .

Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда для определённого интеграла справедлива формула интегрирования по частям .

Примеры 3. Вычислить интегралы: а) ;

б) .

Решение. а) Положим u = x, тогда du = dx. Оставшуюся часть подынтегрального выражения примем за dv: . Проинтегрируем это выражение: , . Тогда по формуле интегрирования по частям получим = =

б) Положим u =ln x, . Тогда , , , . По формуле интегрирования по частям запишем =

.