Задачи математической статистики

Элементы математической статистики

Задачи математической статистики

Математическая статистика – это один из разделов математики. Все основные методы, используемые в математической статистике, основаны на понятиях теории вероятностей.

Каждое исследование случайных явлений, выполненное методами теории вероятностей, опирается на экспериментальные данные. Математическая статистика занимается разработкой методов сбора, описания и анализа экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений.

В любом процессе, связанном с применением статистических методов, можно выделить три этапа:

1) сбор данных;

2) обработка данных;

3) статистические выводы – прогнозы и решения.

Типичными задачами математической статистики являются:

определение закона распределения случайной величины по статистическим данным;

проверка правдоподобия гипотез;

нахождение неизвестных параметров распределения.

Генеральная совокупность. Выборка

Пример 1. Предприятие выпустило партию продукции, состоящую из N изделий. Некоторое число М изделий из этой партии имеет дефекты. Осматривать все изделия дорого и трудоёмко. Поэтому из всей партии выбирают n изделий и все эти выбранные изделия подвергаются проверке. На основании полученных данных делается вывод о числе дефектных изделий во всей партии.

Пример 2. Предприятие выпускает изделия, срок службы которых изучается. Для этого выбирают n изделий и изучают только эти изделия. Затем вычисляют среднее значение сроков службы выбранных n изделий и делают вывод о сроке службы любого изделия, выпускаемого предприятием.

Множество однородных объектов, подлежащих статистическому изучении, называется статистической совокупностью. Отдельные объекты называются элементами совокупности, а их число – объёмом совокупности.

Элементы совокупности можно охарактеризовать одним или несколькими признаками, значения которых изменяются при переходе от одного элемента совокупности к другому.

Для изучения вариации (изменения ) признака проводится статистическое наблюдение. Различают два вида статистических наблюдений: сплошное и выборочное.

При сплошном наблюдении изучается каждый элемент совокупности. Однако такое наблюдение сопряжено со значительными затратами труда или же может оказаться вообще неосуществимым.

По этой причине в большинстве случаев используют выборочное наблюдение, в основе которого лежит выделение из статистической совокупности некоторой её части – выборочной совокупности (выборки ). Исходная совокупность в этом случае называется генеральной совокупностью.

Главная задача выборочного метода заключается в том, чтобы по статистическим показателям малой выборки как можно точнее охарактеризовать всю генеральную совокупность. Другими словами, при помощи сравнительно ограниченных средств, которые дают возможность изучать единичные явления, установить характерные свойства и законы для бесконечного числа возможных или встречающихся явлений.

Таким образом, основополагающая задача математической статистики заключается в исследовании свойств выборки и обобщении этих свойств на всю генеральную совокупность.

Статистический закон распределения

Пусть для изучения некоторой случайной величины Х из генеральной совокупности извлечена выборка объёма n. Представим значения выборки в виде таблицы, в первой строке которой даны номера элементов выборки, а во второй – сами элементы. Такая таблица называется простым статистическим рядом.

Статистические данные в виде простого статистического ряда при большом объёме выборки довольно трудно обработать. В этом случае производят группировку данных.

При изучении дискретной случайной величины наблюдённые значения располагаются в порядке возрастания, а затем подсчитываются частоты , т.е. количество появлений одинаковых значений случайной величины, и относительные частоты , где n – объём выборки. Результаты записываются в виде таблиц:

Статистический ряд распределения частот

Наблюдённые значения			...
Абсолютные частоты			...

Статистический ряд распределения относительных частот

Наблюдённые значения			...
Относительные частоты			...

Если изучается непрерывная случайная величина, то для выполнения группировки нужно весь интервал наблюдённых значений случайной величины разбить на частичных интервалов равной длины. Затем подсчитать частоты и относительные частоты попаданий наблюдённых значений в частичные интервалы. Количество интервалов выбирается произвольно в пределах от 5 до 15, но рекомендуется определять по формуле , где n – объём выборки. Результаты записываются в виде таблиц:

Интервальный статистический ряд распределения частот

Интервалы наблюдённых значений			...
Абсолютные частоты			...

Интервальный статистический ряд распределения относительных частот

Интервалы наблюдённых значений			...
Относительные частоты			...

Перечень наблюдённых значений случайной величины Х (или интервалов наблюдённых значений) и соответствующих им относительных частот называется статистическим законом распределения случайной величины Х.

Пример 3. Дан простой статистический ряд

№ пп

Построить статистический ряд распределения относительных частот.

Решение. Выполним группировку и получим статистический ряд распределения частот.

Найдём относительные частоты и результаты запишем в виде статистического ряда распределения относительных частот:

	0, 1	0, 3	0, 6