Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Важнейшей задачей математической статистики является задача оценивания (приближённого определения) по выборочным данным параметров закона распределения признака Х генеральной совокупности. Другими словами, необходимо по данным выборочного распределения оценить неизвестные параметры теоретического распределения.

Статистические оценки могут быть точечными и интервальными. Задачу статистического оценивания рассмотрим для нормального распределения.

Пусть признак Х генеральной совокупности распределён нормально, т.е. его теоретическое распределение имеет вид:

,

где и - параметры распределения; - математическое ожидание признака Х; - среднее квадратическое отклонение признака Х.

Точечной оценкой неизвестного параметра называется число, которое приблизительно равно оцениваемому параметру и может заменить его с достаточной степенью точности в статистических расчётах.

Точечной оценкой генеральной средней и параметра а может служить выборочная средняя .

В качестве точечной оценки для генеральной дисперсии может быть использована выборочная дисперсия или, если объём выборки небольшой, исправленная выборочная дисперсия

.

Для генерального среднего квадратического отклонения точечной оценкой может служить выборочное среднее квадратическое отклонение или исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение .

Для того, чтобы точечные статистические оценки обеспечивали хорошие приближения неизвестных параметров, они должны быть несмещёнными, состоятельными и эффективными.

Обозначим через неизвестный параметр, а через - его точечную оценку.

Несмещённой называется такая точечная статистическая оценка , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру: .

Состоятельной называется такая точечная статистическая оценка, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Эффективной называется такая точечная статистическая оценка, которая при фиксированном объёме выборки имеет наименьшую дисперсию.

Выборочная средняя обладает всеми этими свойствами, т.е. является несмещённой, состоятельной и эффективной оценкой генеральной средней .

При использовании точечной оценки неизвестного параметра мы не знаем, какая совершается ошибка, если вместо точного значения этого параметра используется его приближённое значение. Поэтому во многих случаях имеет смысл пользоваться интервальной оценкой. Суть такой оценки состоит в том, что определяется некоторый интервал, внутри которого с определённой вероятностью находится неизвестное значение параметра .

Доверительной вероятностью оценки называется вероятность выполнения неравенства , где - точность оценки, т.е. .

Обычно доверительная вероятность задаётся заранее, при этом наиболее часто полагают равным 0, 90, 0, 95, 0, 99. Число называется уровнем значимости.

Из определения доверительной вероятности можно записать

.

Это означает, что с вероятностью неизвестный параметр находится внутри интервала . Доверительную вероятность называют надёжностью, с которой оцениваемый параметр покрывается интервалом .

Доверительным интервалом называется интервал , накрывающий неизвестный параметр с заданной вероятностью . Границы доверительного интервала называются доверительными границами.

В прикладных статистических задачах длина доверительного интервала играет важную роль: чем меньше его длина, тем точнее оценка. Если длина доверительного интервала велика, то ценность такой оценки незначительна.