Метод наименьших квадратов. Неизвестные параметры a и b уравнения регрессии находятся методом наименьших квадратов

Неизвестные параметры a и b уравнения регрессии находятся методом наименьших квадратов. Применяя этот метод, получим систему нормальных уравнений

Решив систему, найдём a и b. Параметр a называется коэффициентом регрессии. Он показывает, как изменится в среднем функция Y, если аргумент Х изменится на единицу своего измерения.

Уравнение регрессии – наиболее часто встречающийся в практике вид статистической модели. Подобные модели применяются для экономического и технико-экономического анализа, где с помощью уравнений регрессии измеряют влияние отдельных факторов на зависимую переменную. Тем самым анализ становится более конкретным, а его познавательная ценность значительно увеличивается. Кроме этого, уравнения регрессии применяются при прогнозировании.

Пример 1. Изучается зависимость себестоимости одного изделия (Y, у.е.) от величины выпуска продукции (Х, тыс.шт.) по группе предприятий за отчётный период. Получены следующие данные:

Провести корреляционно-регрессионный анализ зависимости себестоимости одного изделия от выпуска продукции.

Построим корреляционное поле. По корреляционному полю

определяем, что зависимость между себестоимостью одного изделия и выпуском продукции близка к линейной. В этом случае уравнение регрессии имеет вид .

Выполним все необходимые вычисления и запишем в виде таблицы:

№ п/п
		1, 9	3, 8
		1, 7	5, 1
		1, 8	7, 2
		1, 6	8, 0
		1, 4	8, 4
Сумма		8, 4	32, 5

В данном примере , , , . Найдём , , , , . Вычислим выборочный коэффициент корреляции . Так как коэффициент корреляции близок к единице, то себестоимость одного изделия и объём выпускаемой продукции находятся в тесной корреляционной зависимости. Коэффициент детерминации равен , т.е. себестоимость единицы продукции на 81% зависит от объёма выпускаемой продукции и на 19% зависит от других факторов.

Для вычисления параметров a и b уравнения регрессии результаты вычислений из таблицы подставим в нормальную систему

и получим систему уравнений из которой найдём а =-0.11, b=2.12. Таким образом, уравнение регрессии имеет вид . Из этого уравнения следует, что с увеличением выпуска продукции на 1 тыс. шт. себестоимость одного изделия снизится на 0.11 у.е. Если выпуск продукции составит, например, 5.2 тыс.шт., то можно определить себестоимость одного изделия: (у.е.).

Понятие множественной регрессии

Парная регрессия позволяет изучить взаимосвязь лишь двух переменных. Чаще же изменение Y связано с влиянием не одного, а нескольких факторов. В этом случае в уравнение регрессии вводят несколько переменных. Такая регрессия называется множественной.

Уравнение множественной регрессии позволяет полнее объяснить поведение зависимой переменной и даёт возможность сопоставить эффективность влияния различных факторов.

Уравнение множественной регрессии с двумя независимыми переменными имеет вид .