Диференціатори.

Диференціюючим колом називається чотириполюсник, сигнал на виході якого пропорційний похідній від вхідного сигналу. Ідеальним диференціюючим колом є конденсатор без втрат (рисунок 1.9, а), який перетворює прикладену до нього вхідну напругу в струм, який змінюється пропорційно похідній dU_вх/dt. Для отримання напруги, яка змінюється за законом

, (1.21)

необхідно перетворити струм i, який протікає в колі, в напругу, включивши в коло резистор R (рисунок 1.9, б). При цьому опір резистора R повинен бути досить малим, щоб U_вих=iR змінювалась за законом, близьким до (1.21). Напруга на виході кола

, де .

Тому

,

а б

Рисунок 1.9. Диференційне коло.

а)

Рисунок 1.10. Диференціювання одиночного імпульсу.

а)

б)

Рисунок 1.11. Диференціювання експоненціального імпульсу.

Якщо , то

.

Підставивши значення U_вих(t) в попередню нерівність, отримаємо

.

Із отриманого виразу випливає, що для застосування RC – кола як диференціюючого необхідно, щоб стала часу t=RC була б якомога меншою. Але при цьому зменшуватиметься і вихідна напруга U_вих(t).

Розглянемо диференціювання одиночного прямокутного імпульсу (рисунок 1.10). Математична похідна в точках t=0 і t=t_i дорівнює , у решти точок вона дорівнює нулю.

У реальному диференціюючому RC – колі вихідна напруга U_вих(t) визначається процесами заряду і розряду конденсатора С. Напруга на виході диференціюючого кола

,

.

Графік вихідної напруги показаний на рисунку 1.10.

Максимальна похибка диференціювання спостерігається в точках t=0 і t=t_i, оскільки для ідеального кола вихідний сигнал нескінчений у цих точках, а в реальному не може перебільшувати ±U_m.

Розглянемо випадок диференціювання імпульсу, фронт якого змінюється за законом експоненти (рисунок 1.11, а)

при ,

де t_ф – постійна часу, що визначає тривалість фронту.

Результат диференціювання такого сигналу ідеальним диференціюючим колом

(1.22)

тобто являє собою експоненційний імпульс (рисунок 1.11, б).

Результат диференціювання реальним RC – колом може бути знайдений на основі інтеграла Дюамеля

, (1.23)

де t=RC – стала часу диференціюючого кола.

Імпульс такої форми називається двоекспоненційним. Похибка диференціювання

.

Із (1.22) та (1.23)

.

Тоді

Тобто похибка диференціювання тим менша, чим менша стала часу RC – диференціючого кола.