Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Серийный отбор
|
|
Задача 1. В одном из цехов предприятия в десяти бригадах работает 100 рабочих. В целях изучения квалификации рабочих была проведена 20%-я серийная бесповторная выборка, в которую вошли 2 бригады. Получено следующее распределение обследованных рабочих по разрядам:
| Номер рабочего | Тарифные разряды рабочих | |
| в бригаде 1 | в бригаде 2 | |
Определить с вероятностью 0, 9 границы доверительного интервала среднего тарифного разряда рабочих цеха.
Решение.
По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью серийного бесповторного отбора.
Объем выборки r = 2 серии, т.е. выборка – маленькая; общее число серий R = 10; g = 0, 9.
Найдем границы доверительного интервала среднего тарифного разряда рабочих цеха, т.е. границы доверительного интервала для генеральной средней.
Используем формулу:
.
По таблице Стьюдента (Приложение 3) найдем t по уровню значимости a и числу степеней свободы k.
a = 1 - g = 1 - 0, 9 = 0, 1;
k = r - 1 = 2 - 1 = 1.
ta=0, 1; k=1= 6, 31.
Найдем предельную ошибку выборки:
.
Для определения межсерийной (межгрупповой) дисперсии выборочных средних необходимо рассчитать групповые и общую среднюю величину.
Средний тарифный разряд
- в первой бригаде:
разр.
- во второй бригаде:
разр.
Средний разряд рабочего в двух бригадах (общая средняя):
разр.
Межсерийная (межгрупповая) дисперсия:
где 
– среднее значение показателя в j –й серии (группе);
– среднее значение показателя во всех сериях (общая средняя).
Предельная ошибка оценки среднего тарифного разряда рабочего в двух бригадах (выборочной средней):
Отсюда:
;
;
.
С вероятностью 0, 9 можно ожидать, что средний тарифный разряд всех рабочих цеха находится в интервале от 3, 3793 до 4, 2207.
Ответ. Можно ожидать, что с вероятностью 0, 9, средний тарифный разряд всех рабочих цеха находится в интервале от 3, 3793 до 4, 2207.
Задача 2. Детали упакованы в 1000 ящиков по 40 деталей в каждый. Для проверки качества деталей был проведен сплошной контроль деталей в 100 ящиках (10%-й серийный бесповторный отбор). В результате контроля установлено, что доля бракованных деталей составляет 15%. Межсерийная дисперсия равна 0, 002.
С вероятностью 0, 954 определить границы доверительного интервала доли бракованной продукции во всей партии.
Решение.
По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью серийного бесповторного отбора.
Объем выборки r = 100 серий, т.е. выборка – большая; общее число серий R = 1000; выборочная доля w = 0, 15; межсерийная дисперсия выборочной доли 
= 0, 002; g = 0, 954.
Найдем границы доверительного интервала доли бракованной продукции во всей партии, т.е. границы доверительного интервала для генеральной доли.
Так как
,
то найдем t из соотношения 2F0(t) = g:
2F0(t) = 0, 954;
F0(t) = 0, 954 / 2 = 0, 477.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t F0(t) = 0, 477.
F0(2, 0) = 0, 477.
Следовательно, t = 2, 0.
Найдем предельную ошибку выборки:
.
Предельная ошибка выборочной доли
;
;
.
Итак, с вероятностью 0, 954 можно ожидать, что доля бракованной продукции во всей партии находится в интервале от 0, 1416 до 0, 1584.
Ответ. С вероятностью 0, 954 можно ожидать, что доля бракованной продукции во всей партии находится в интервале от 0, 1416 до 0, 1584.
Задача 3. В механическом цехе предприятия имеется 40 бригад по 10 рабочих в каждой бригаде. Для установления квалификации (среднего разряда) рабочих цеха предполагается использовать серийный бесповторный отбор.
Определить необходимое количество бригад, чтобы с вероятностью 0, 95 ошибка выборки (средний тарифный разряд рабочего в цехе) не превышала одного разряда. На основе предыдущих исследований известно, что межсерийная дисперсия равна 0, 9.
Решение.
Дано: Dr = 1; 
= 0, 9; g = 0, 95; R = 40.
Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для средней для серийного бесповторного отбора:
.
Найдем t из соотношения 2F0(t) = g:
2F0(t) = 0, 95;
F0(t) = 0, 95 / 2 = 0, 475;
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t F0(t) = 0, 475.
F0(1, 96) = 0, 475.
Следовательно, t = 1, 96.
Рассчитаем необходимую численность выборки:
.
Так как n - целое число, а также, учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.
Следовательно, необходимо отобрать не менее 4 бригад.
Ответ. Для определения среднего тарифного разряда с вероятностью 0, 95 и Dr = 1, необходимо отобрать не менее 4 бригад.
Задача 4. На предприятии работает 200 бригад с одинаковой численностью рабочих. Для изучения доли рабочих, выполняющих норму выработки, предполагается использовать серийный бесповторный отбор
Определить число бригад, которые необходимо отобрать в выборку, чтобы с вероятностью 0, 98 предельная ошибка выборки (предельная ошибка доли рабочих, выполняющих норму выработки) не превышала 5%, если межсерийная дисперсия выборочной доли равна 0, 02.
Решение.
Дано: Dw = 0, 05; 
= 0, 02; g = 0, 98; R = 200.
Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для доли для серийного бесповторного отбора:
.
Найдем t из соотношения 2F0(t) = g:
2F0(t) = 0, 98;
F0(t) = 0, 98 / 2 = 0, 49;
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t F0(t) = 0, 49.
F0(2, 33) = 0, 49.
Следовательно, t = 2, 33.
Рассчитаем необходимую численность выборки:
.
Так как n - целое число, а также, учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.
Следовательно, необходимо отобрать не менее 36 бригад.
Ответ. Чтобы с вероятностью 0, 98 предельная ошибка выборки (предельная ошибка доли рабочих, выполняющих норму выработки) не превышала 5%, необходимо отобрать не менее 36 бригад.
Задача 5. Для определения средней наработки до отказа 1000 приборов, распределенных на партии (серии) по 10 шт., проводится серийная 4%-я бесповторная выборка. Результаты испытаний отобранных приборов характеризуются следующими данными:
| Показатели | Номер партии приборов | |||
| Средняя наработка до отказа, тыс.ч | ||||
| Доля приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс.ч | 0, 80 | 0, 85 | 0, 90 | 0, 95 |
Определить:
а) Стандартные (средние) ошибки выборки:
- наработки приборов до отказа;
- удельного веса приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс.ч;
б) с вероятностью 0, 95 границы доверительных интервалов:
- средней наработки до отказа всех приборов;
- доли приборов в генеральной совокупности, наработка до отказа которых составляет не менее 12 тыс.ч.
Решение.
а) При бесповторном отборе серий стандартная (средняя) ошибка выборки определяется по формулам (см. табл.4), соответственно, для средней и для доли:
где r – число отобранных серий;
R – число серий в генеральной совокупности;
– межсерийная дисперсия выборочных средних;
– межсерийная дисперсия выборочной доли.
Средняя наработка до отказа приборов в отобранных 4 партиях:
тыс. ч.
Средний удельный вес приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс.ч:
Межсерийная дисперсия для средней и для доли определяется по формулам:
Расчет приведен в таблице:
| Но-мер партии | Средняя наработка до отказа, тыс.ч
| 
| 
| Доля приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс. ч, 
|
|
|
| -3, 75 -1, 75 1, 25 4, 25 | 14, 06 3, 06 1, 56 18, 06 | 0, 80 0, 85 0, 90 0, 95 | -0, 075 -0, 025 0, 025 0, 075 | 0, 005625 0, 000625 0, 000625 0, 005625 | ||
| 36, 74 | 0, 012500 |
Тогда, межсерийные дисперсии:
Стандартные (средние) ошибки выборки:
- при определении средней
тыс. ч;
- при определении доли
.
б) Найдем границы доверительного интервала средней наработки до отказа всех приборов, т.е. границы доверительного интервала для генеральной средней.
Используем формулу:
.
По таблице Стьюдента (Приложение 3) найдем t по уровню значимости a и числу степеней свободы k.
a = 1 - g = 1 - 0, 95 = 0, 05;
k = r - 1 = 4 - 1 = 3.
ta=0, 05; k=3= 3, 18.
Найдем предельную ошибку оценки средней наработки до отказа всех приборов:
;
.
Отсюда:
;
;
.
С вероятностью 0, 95 можно ожидать, что средняя наработка до отказа всех приборов находится в интервале от 9, 0048 до 18, 4952.
Найдем границы доверительного интервала доли приборов в генеральной совокупности, наработка до отказа которых составляет не менее 12 тыс.ч, т.е. границы доверительного интервала для доли:
Используем формулу:
.
По таблице Стьюдента (Приложение 3) найдем t по уровню значимости a и числу степеней свободы k.
a = 1 - g = 1 - 0, 95 = 0, 05;
k = r - 1 = 4 - 1 = 3.
ta=0, 05; k=3= 3, 18.
Найдем предельную ошибку оценки доли приборов в генеральной совокупности, наработка до отказа которых составляет не менее 12 тыс.ч:
;
.
Отсюда:
;
;
.
С вероятностью 0, 95 можно ожидать, что доля приборов в генеральной совокупности, наработка до отказа которых составляет не менее 12 тыс.ч, находится в интервале от 0, 7875 до 0, 9625.
Ответ. Стандартная ошибки оценки наработки приборов до отказа составляет 1, 4922 тыс.ч; стандартная ошибки оценки удельного веса приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс.ч составляет 0, 0275.
С вероятностью 0, 95 можно ожидать, что средняя наработка до отказа всех приборов находится в интервале от 9, 0048 до 18, 4952. С вероятностью 0, 95 можно ожидать, что доля приборов в генеральной совокупности, наработка до отказа которых составляет не менее 12 тыс.ч, находится в интервале от 0, 7875 до 0, 9625.