![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Серийный отбор
Задача 1. В одном из цехов предприятия в десяти бригадах работает 100 рабочих. В целях изучения квалификации рабочих была проведена 20%-я серийная бесповторная выборка, в которую вошли 2 бригады. Получено следующее распределение обследованных рабочих по разрядам:
Определить с вероятностью 0, 9 границы доверительного интервала среднего тарифного разряда рабочих цеха. Решение. По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью серийного бесповторного отбора. Объем выборки r = 2 серии, т.е. выборка – маленькая; общее число серий R = 10; g = 0, 9. Найдем границы доверительного интервала среднего тарифного разряда рабочих цеха, т.е. границы доверительного интервала для генеральной средней. Используем формулу:
По таблице Стьюдента (Приложение 3) найдем t по уровню значимости a и числу степеней свободы k. a = 1 - g = 1 - 0, 9 = 0, 1; k = r - 1 = 2 - 1 = 1. ta=0, 1; k=1= 6, 31. Найдем предельную ошибку выборки:
Для определения межсерийной (межгрупповой) дисперсии выборочных средних необходимо рассчитать групповые и общую среднюю величину. Средний тарифный разряд - в первой бригаде:
- во второй бригаде:
Средний разряд рабочего в двух бригадах (общая средняя):
Межсерийная (межгрупповая) дисперсия: где
Предельная ошибка оценки среднего тарифного разряда рабочего в двух бригадах (выборочной средней): Отсюда:
С вероятностью 0, 9 можно ожидать, что средний тарифный разряд всех рабочих цеха находится в интервале от 3, 3793 до 4, 2207. Ответ. Можно ожидать, что с вероятностью 0, 9, средний тарифный разряд всех рабочих цеха находится в интервале от 3, 3793 до 4, 2207. Задача 2. Детали упакованы в 1000 ящиков по 40 деталей в каждый. Для проверки качества деталей был проведен сплошной контроль деталей в 100 ящиках (10%-й серийный бесповторный отбор). В результате контроля установлено, что доля бракованных деталей составляет 15%. Межсерийная дисперсия равна 0, 002. С вероятностью 0, 954 определить границы доверительного интервала доли бракованной продукции во всей партии. Решение. По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью серийного бесповторного отбора. Объем выборки r = 100 серий, т.е. выборка – большая; общее число серий R = 1000; выборочная доля w = 0, 15; межсерийная дисперсия выборочной доли Найдем границы доверительного интервала доли бракованной продукции во всей партии, т.е. границы доверительного интервала для генеральной доли. Так как
то найдем t из соотношения 2F0(t) = g: 2F0(t) = 0, 954; F0(t) = 0, 954 / 2 = 0, 477. По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t F0(t) = 0, 477. F0(2, 0) = 0, 477. Следовательно, t = 2, 0. Найдем предельную ошибку выборки:
Предельная ошибка выборочной доли
Итак, с вероятностью 0, 954 можно ожидать, что доля бракованной продукции во всей партии находится в интервале от 0, 1416 до 0, 1584. Ответ. С вероятностью 0, 954 можно ожидать, что доля бракованной продукции во всей партии находится в интервале от 0, 1416 до 0, 1584.
Задача 3. В механическом цехе предприятия имеется 40 бригад по 10 рабочих в каждой бригаде. Для установления квалификации (среднего разряда) рабочих цеха предполагается использовать серийный бесповторный отбор. Определить необходимое количество бригад, чтобы с вероятностью 0, 95 ошибка выборки (средний тарифный разряд рабочего в цехе) не превышала одного разряда. На основе предыдущих исследований известно, что межсерийная дисперсия равна 0, 9. Решение. Дано: Dr = 1; Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для средней для серийного бесповторного отбора:
Найдем t из соотношения 2F0(t) = g: 2F0(t) = 0, 95; F0(t) = 0, 95 / 2 = 0, 475; По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t F0(t) = 0, 475. F0(1, 96) = 0, 475. Следовательно, t = 1, 96. Рассчитаем необходимую численность выборки:
Так как n - целое число, а также, учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого. Следовательно, необходимо отобрать не менее 4 бригад. Ответ. Для определения среднего тарифного разряда с вероятностью 0, 95 и Dr = 1, необходимо отобрать не менее 4 бригад.
Задача 4. На предприятии работает 200 бригад с одинаковой численностью рабочих. Для изучения доли рабочих, выполняющих норму выработки, предполагается использовать серийный бесповторный отбор Определить число бригад, которые необходимо отобрать в выборку, чтобы с вероятностью 0, 98 предельная ошибка выборки (предельная ошибка доли рабочих, выполняющих норму выработки) не превышала 5%, если межсерийная дисперсия выборочной доли равна 0, 02. Решение. Дано: Dw = 0, 05; Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для доли для серийного бесповторного отбора:
Найдем t из соотношения 2F0(t) = g: 2F0(t) = 0, 98; F0(t) = 0, 98 / 2 = 0, 49; По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t F0(t) = 0, 49. F0(2, 33) = 0, 49. Следовательно, t = 2, 33. Рассчитаем необходимую численность выборки:
Так как n - целое число, а также, учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого. Следовательно, необходимо отобрать не менее 36 бригад. Ответ. Чтобы с вероятностью 0, 98 предельная ошибка выборки (предельная ошибка доли рабочих, выполняющих норму выработки) не превышала 5%, необходимо отобрать не менее 36 бригад.
Задача 5. Для определения средней наработки до отказа 1000 приборов, распределенных на партии (серии) по 10 шт., проводится серийная 4%-я бесповторная выборка. Результаты испытаний отобранных приборов характеризуются следующими данными:
Определить: а) Стандартные (средние) ошибки выборки: - наработки приборов до отказа; - удельного веса приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс.ч; б) с вероятностью 0, 95 границы доверительных интервалов: - средней наработки до отказа всех приборов; - доли приборов в генеральной совокупности, наработка до отказа которых составляет не менее 12 тыс.ч. Решение. а) При бесповторном отборе серий стандартная (средняя) ошибка выборки определяется по формулам (см. табл.4), соответственно, для средней и для доли:
где r – число отобранных серий; R – число серий в генеральной совокупности;
Средняя наработка до отказа приборов в отобранных 4 партиях:
Средний удельный вес приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс.ч: Межсерийная дисперсия для средней и для доли определяется по формулам: Расчет приведен в таблице:
Тогда, межсерийные дисперсии: Стандартные (средние) ошибки выборки: - при определении средней
- при определении доли
б) Найдем границы доверительного интервала средней наработки до отказа всех приборов, т.е. границы доверительного интервала для генеральной средней. Используем формулу:
По таблице Стьюдента (Приложение 3) найдем t по уровню значимости a и числу степеней свободы k. a = 1 - g = 1 - 0, 95 = 0, 05; k = r - 1 = 4 - 1 = 3. ta=0, 05; k=3= 3, 18. Найдем предельную ошибку оценки средней наработки до отказа всех приборов:
Отсюда:
С вероятностью 0, 95 можно ожидать, что средняя наработка до отказа всех приборов находится в интервале от 9, 0048 до 18, 4952. Найдем границы доверительного интервала доли приборов в генеральной совокупности, наработка до отказа которых составляет не менее 12 тыс.ч, т.е. границы доверительного интервала для доли: Используем формулу:
По таблице Стьюдента (Приложение 3) найдем t по уровню значимости a и числу степеней свободы k. a = 1 - g = 1 - 0, 95 = 0, 05; k = r - 1 = 4 - 1 = 3. ta=0, 05; k=3= 3, 18. Найдем предельную ошибку оценки доли приборов в генеральной совокупности, наработка до отказа которых составляет не менее 12 тыс.ч:
Отсюда:
С вероятностью 0, 95 можно ожидать, что доля приборов в генеральной совокупности, наработка до отказа которых составляет не менее 12 тыс.ч, находится в интервале от 0, 7875 до 0, 9625. Ответ. Стандартная ошибки оценки наработки приборов до отказа составляет 1, 4922 тыс.ч; стандартная ошибки оценки удельного веса приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс.ч составляет 0, 0275. С вероятностью 0, 95 можно ожидать, что средняя наработка до отказа всех приборов находится в интервале от 9, 0048 до 18, 4952. С вероятностью 0, 95 можно ожидать, что доля приборов в генеральной совокупности, наработка до отказа которых составляет не менее 12 тыс.ч, находится в интервале от 0, 7875 до 0, 9625.
|