Простой математический маятник.

Моделирование сложных динамических систем в примерах.

В данной работе делается попытка проиллюстрировать основные понятия моделирования сложных динамических систем на специально подобранных характерных примерах. Сначала рассматриваются модели изолированных систем и все внимание концентрируется на описании поведения. Последовательно обсуждаются модели непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных – гибридных - систем. Затем рассматриваются компонентные модели, состоящие из отдельных блоков. Одновременно «исподволь» развивается идея объектно-ориентированного моделирования.

Модели изолированных систем.

Изолированной называется система, не взаимодействующая с внешним окружением. Таким образом, модель изолированной системы должны включать в себя как описание изучаемой системы, так и описание внешнего окружения.

.

Модели математического маятника.

В этом разделе мы рассмотрим несколько последовательно усложняющихся моделей математического маятника: простой маятник, маятник с подталкивающей силой, маятник с пружиной, отрывающийся маятник.

Простой математический маятник.

Данная модель является примером модели чисто непрерывной изолированной системы.

Моделируемая система представляет собой материальную точку (мы будем представлять ее как шарик достаточно малого размера), прикрепленную к нерастяжимому и невесомому стержню длиной , другой конец которого шарнирно закреплен в начале системы координат (см. Рис 1).

Рис 1

Состояние маятника полностью определяется значением двух переменных: угла отклонения и угловой скоростью .

Динамика маятника определяется двумя дифференциальными уравнениями (1).

(1) , где

При численном моделировании мы будем полагать .

Однако, для анимации движения маятника потребуются дополнительные переменные – координаты и материальной точки, задаваемые двумя формулами (1a)

(1a)

На Рис 2б показана траектория движения маятника в координатах . Зависимости показаны на Рис 2а. Моделируемая система совершает незатухающие колебания. На Рис 2в показана фазовая траектория маятника в системе координат .

а)

.

б) в)

Рис 2

Совокупность переменных, определяющих состояние динамической (то есть изменяющейся во времени) системы, называют фазовым вектором, а область его изменения – фазовым пространством. Набор начальных значений определяет начальную точку, соответствующую моменту времени . При изменении конец фазовый вектор определяет последовательность точек, называемую фазовой траекторией. Фазовое пространство с дополнительной координатой – временем – называют расширенным фазовым пространством. Графики, показанные на Рис 2, являются различными двумерными проекциями траектории системы в расширенном фазовом пространстве.