Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
|
|
[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
где
§ 
— искомая функция,
§ 
— её 
-тая производная,
§ 
— фиксированные числа,
§ 
— заданная функция (когда 
, имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).
| Содержание [убрать] · 1 Однородное уравнение o 1.1 Уравнение порядка n o 1.2 Уравнение второго порядка · 2 Неоднородное уравнение o 2.1 Вид общего решения неоднородного уравнения o 2.2 Принцип суперпозиции o 2.3 Частный случай: квазимногочлен · 3 Уравнение Коши — Эйлера |
[править]Однородное уравнение
[править]Уравнение порядка n
Однородное уравнение:
интегрируется следующим образом:
Пусть 
— все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения
кратностей 
, соответственно, 
.
Тогда функции
являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.
Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.
Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней 
можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида
и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.
[править]Уравнение второго порядка
16 Комплексные числа. Действия
Ко́ мпле́ ксные[1] чи́ сла (устар. Мнимые числа [2]), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается 
. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма 
, где 
и 
— вещественные числа, 
— мнимая единица[3].
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени 
с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.