Степенной ряд

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца .

[править]Пространство степенных рядов

Сюда перенаправляется запрос «Формальный степенной ряд». На эту тему нужна отдельная статья.

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из обозначается . Пространство имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо ). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть

Тогда:

(при этом необходимо, чтобы соблюдалось )

[править]Сходимость степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путем приписывания формальной переменной какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

[править]Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

§ Первая теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге и равномерно по на любом компактном подмножествеэтого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при , он расходится при всех , таких что . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга (возможно, нулевой или бесконечный), что при ряд сходится абсолютно (и равномерно по на компактных подмножествах круга ), а при — расходится. Это значение называется радиусом сходимости ряда, а круг — кругом сходимости.

§ Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:

(По поводу определения верхнего предела см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть и — два степенных ряда с радиусами сходимости и . Тогда

Если у ряда свободный член нулевой, тогда

Вопрос о сходимости ряда в точках границы круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

§ Признак Д’Аламбера: Если при и выполнено неравенство

тогда степенной ряд сходится во всех точках окружности абсолютно и равномерно по .

§ Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда положительны и последовательность монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности , кроме, быть может, точки .

§ Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он сходится равномерно по на отрезке, соединяющем точки 0 и .

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра является предметом изучения теории аналитических функций.